模态逻辑（2）—— 模态逻辑基本概念

  在命题逻辑中使用的运算符（$\neg ,\vee ,\wedge ,\supset ,\equiv$）全部是真值函数运算符 (Truth-functional operator)，而模态逻辑关心额外的非真值函数的 (non-truth-functional) 概念，模态逻辑在命题逻辑的基础上引入两个非真值函数运算符 $\square$ 和 $◊$。

Necessity operator $\square$ 和 Possibility operator $◊$

Necessity operator $\square$

  Necessity operator 用符号 $\square$ 表示，有时用大写字母 $L$ 表示。如果 $\alpha$ 是 wff，则 $L\alpha$ 也是 wff。通常， $L$ 被解释为“必然是” (must be)，但有时候也有其他解释，因为在不同的模态逻辑系统中，$L$ 的含义不同，比如 $L$ 还可以解释为“应该是” (morally ought to be)。例如，如果我们说 $L\alpha$ 是真，即 $\alpha$ 必然是真，那么 $\alpha$ 是真；我们还是说 $L\alpha$ 是真，这次解释为 $\alpha$ 应该是真，那么 $\alpha$ 有为真的可能性，但 $\alpha$ 是假。

Possibility operator $◊$

  Possibility operator 用符号 $◊$ 表示，有时用大写字母 $M$ 表示。如果 $\alpha$ 是 wff，则 $M\alpha$ 也是 wff。$M$ 通常被解释为“可能是” (may be, can be)。在定义了$L$ 的前提下，$M$ 可以用 $L$ 定义， $M\alpha =\neg L\neg \alpha$。反过来，$L$ 可以用 $M$ 定义，$L\alpha =\neg M\neg \alpha$。每一种 $L$ 的含义，都已一个 $M$ 与之对应。

模态逻辑的合式公式 (Well-formed formulae, wff)

  模态逻辑的合式公式 (wff) 是在命题逻辑的合式公式的基础上定义的：

1. 一个字母（命题逻辑中的变量）是 wff；
2. 如果 $\alpha$ 是 wff，则 $\neg \alpha$、$L\alpha$、$M\alpha$ 也是 wff；
3. 如果 $\alpha$ 和 $\beta$ 是 wff，则 $\alpha \vee \beta$ 也是 wff（其他二元运算符类似）。

命题逻辑的 wff 都是模态逻辑的 wff，模态逻辑的 wff 不一定是命题逻辑的 wff。

模态逻辑合式公式的正确性 (Validity)

  和命题逻辑中 wff 正确性的定义，首先将模态逻辑 wff 中的字母（变量）全部被替换为命题，当且仅当每一种替换方式都能使合式公式变成一个真命题时，那么这个合式公式是正确的 (valid)。然而，由于模态逻辑运算符是非真值函数的，不能直接确定命题的真假，判断模态逻辑命题真假涉及到可能世界和可能世界连接关系等概念，这里先给一个大概的解释（不想翻译了，直接看图吧）：