模态逻辑(2)—— 模态逻辑基本概念

  在命题逻辑中使用的运算符( ¬ , ∨ , ∧ , ⊃ , ≡ \neg,\vee,\wedge,\supset,\equiv ¬,,,,)全部是真值函数运算符 (Truth-functional operator),而模态逻辑关心额外的非真值函数的 (non-truth-functional) 概念,模态逻辑在命题逻辑的基础上引入两个非真值函数运算符 □ \square ◊ \Diamond

Necessity operator □ \square 和 Possibility operator ◊ \Diamond

Necessity operator □ \square

  Necessity operator 用符号 □ \square 表示,有时用大写字母 L L L 表示。如果 α \alpha α 是 wff,则 L α L\alpha Lα 也是 wff。通常, L L L 被解释为“必然是” (must be),但有时候也有其他解释,因为在不同的模态逻辑系统中, L L L 的含义不同,比如 L L L 还可以解释为“应该是” (morally ought to be)。例如,如果我们说 L α L\alpha Lα 是真,即 α \alpha α 必然是真,那么 α \alpha α 是真;我们还是说 L α L\alpha Lα 是真,这次解释为 α \alpha α 应该是真,那么 α \alpha α 有为真的可能性,但 α \alpha α 是假。

Possibility operator ◊ \Diamond

  Possibility operator 用符号 ◊ \Diamond 表示,有时用大写字母 M M M 表示。如果 α \alpha α 是 wff,则 M α M\alpha Mα 也是 wff。 M M M 通常被解释为“可能是” (may be, can be)。在定义了 L L L 的前提下, M M M 可以用 L L L 定义, M α = ¬ L ¬ α M\alpha=\neg L \neg \alpha Mα=¬L¬α。反过来, L L L 可以用 M M M 定义, L α = ¬ M ¬ α L\alpha=\neg M \neg \alpha Lα=¬M¬α。每一种 L L L 的含义,都已一个 M M M 与之对应。

模态逻辑的合式公式 (Well-formed formulae, wff)

  模态逻辑的合式公式 (wff) 是在命题逻辑的合式公式的基础上定义的:

  1. 一个字母(命题逻辑中的变量)是 wff;
  2. 如果 α \alpha α 是 wff,则 ¬ α \neg \alpha ¬α L α L\alpha Lα M α M\alpha Mα 也是 wff;
  3. 如果 α \alpha α β \beta β 是 wff,则 α ∨ β \alpha\vee\beta αβ 也是 wff(其他二元运算符类似)。

命题逻辑的 wff 都是模态逻辑的 wff,模态逻辑的 wff 不一定是命题逻辑的 wff。

模态逻辑合式公式的正确性 (Validity)

  和命题逻辑中 wff 正确性的定义,首先将模态逻辑 wff 中的字母(变量)全部被替换为命题,当且仅当每一种替换方式都能使合式公式变成一个真命题时,那么这个合式公式是正确的 (valid)。然而,由于模态逻辑运算符是非真值函数的,不能直接确定命题的真假,判断模态逻辑命题真假涉及到可能世界和可能世界连接关系等概念,这里先给一个大概的解释(不想翻译了,直接看图吧):模态逻辑(2)—— 模态逻辑基本概念_第1张图片

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