第五章，向量空间，2-基变换与坐标变换
第五章，向量空间，2-基变换与坐标变换
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- 定理 (唯一表示定理)
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- 证明唯一性
- 坐标变换
玩转线性代数(27)基变换与坐标变换的笔记，相关证明以及例子见原文
定理 (唯一表示定理)
令 B = { b 1 , b 2 , ⋯ , , b r } B=\{b_1,b_2,\cdots,,b_r\} B={b1,b2,⋯,,br}为向量空间V的一个基，则对V中每个向量x，存在唯一的一组数
c 1 , c 2 , ⋯ , c r , c_1,c_2,\cdots,c_r, c1,c2,⋯,cr,
使得
x = c 1 b 1 + c 2 b 2 + ⋯ + c r b r x=c_1b_1+c_2b_2+\cdots+c_rb_r x=c1b1+c2b2+⋯+crbr
证明唯一性
假设x还有另一种表示：
x = d 1 b 1 + d 2 b 2 + ⋯ + d r b r x=d_1b_1+d_2b_2+\cdots+d_rb_r x=d1b1+d2b2+⋯+drbr
则二式相减有：
0 = x − x = ( c 1 − d 1 ) b 1 + ( c 2 − d 2 ) b 2 + ⋯ + ( c r − d r ) b r 0=x-x=(c_1-d_1)b_1+(c_2-d_2)b_2+\cdots+(c_r-d_r)b_r 0=x−x=(c1−d1)b1+(c2−d2)b2+⋯+(cr−dr)br
由于 b 1 , b 2 , ⋯ , , b r b_1,b_2,\cdots,,b_r b1,b2,⋯,,br是线性无关的，故 c i = d i , i = 1 , 2 , ⋯ , r c_i=d_i,i=1,2,\cdots,r ci=di,i=1,2,⋯,r.
坐标变换
在n维向量空间 R n R^n Rn中取基 I : a 1 , a 2 , ⋯ , a n \mathrm{I}:a_1,a_2,\cdots,a_n I:a1,a2,⋯,an，基 I I : b 1 , b 2 , ⋯ , b n \mathrm{II}:b_1,b_2,\cdots,b_n II:b1,b2,⋯,bn，设向量 α \alpha α在基 I \mathrm{I} I中的坐标为 x T = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) x^T=(x_1,x_2,\cdots,x_n) xT=(x1,x2,⋯,xn)，求向量 α \alpha α在基 I I \mathrm{II} II下的坐标
分析：设向量 α \alpha α在基 I I \mathrm{II} II下的坐标为 y T = ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) y^T=(y_1,y_2,\cdots,y_n) yT=(y1,y2,⋯,yn)，有
α = ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) ( y 1 y 2 ⋮ y n ) \alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} =(b_1,b_2,\cdots,b_n)\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} α=(a1,a2,⋯,an) x1x2⋮xn =(b1,b2,⋯,bn) y1y2⋮yn
所以 y = ( y 1 y 2 ⋮ y n ) = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) − 1 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n ) = B − 1 A ( x 1 x 2 ⋮ x n ) y=\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^{-1}(a_1,a_2,\cdots,a_n)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=B^{-1}A\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} y= y1y2⋮yn =(b1,b2,⋯,bn)−1(a1,a2,⋯,an) x1x2⋮xn =B−1A x1x2⋮xn