李雅普诺夫函数设计

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一、线性时不变系统

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1.1 原理

对于线性时不变系统

$$\dot{x}=Ax\text{\hspace{1em}(1.1)}$$

采用二次型Lyapunov函数

$$V=x^{T}Px\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

其中 $P$ 是对称正定矩阵，则：

$$\begin{array}{rl}\dot{V}& ={\dot{x}}^{T}Px+x^{T}P\dot{x}\\ & =x^T{A}^{T}Px+x^{T}PAx\\ & =x^T(A^{T}P+PA)x\end{array}$$

由于 $P$ 对称正定，$V(x)$ 正定；若 $\dot{V}(x)$ 负定，则系统全局渐进稳定。因此，不妨令：

$$A^{T}P+PA=-Q\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

其中，$Q$为正定对称矩阵。

这样，使用逆向思维，首先选取一个正定对称的 $Q$（简单起见，往往选单位阵），再解出矩阵 $P$即可，即可保证$V(x)$ 正定，$\dot{V}(x)$ 负定，系统全局渐进稳定。

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1.2 例子

系统状态方程为：

$$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_1=x_2\\ & {\dot{x}}_2=-2x_1-3x_2\end{array}$$

易知：

$$A=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& -3\end{array}\right]$$

设

$$Q=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]P=\left[\begin{array}{cc}{p}_{11}& p_{12}\\ p_{21}& p_{22}\end{array}\right],p_{12}=p_{21}$$

$$\begin{array}{rl}{A}^{T}P+PA& =\left[\begin{array}{cc}-4p_{12}& p_{11}-3p_{12}-2p_{22}\\ p_{11}-3p_{12}-2p_{22}& 2p_{12}-6p_{22}\end{array}\right]\\ & \stackrel{\text{let}}{=}-\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\end{array}$$

解得：

$$p_{12}=\frac{1}{4}{p}_{22}=\frac{1}{4}{p}_{11}=\frac{5}{4}$$

因此，原系统的一个Lyapunov函数为：

$$\begin{array}{rl}V& =x^{T}Px\\ & =\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\frac{5}{4}& \frac{1}{4}\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\\ & =\frac{5}{4}{x}_1^2+\frac{1}{2}{x}_1{x}_2+\frac{1}{4}{x}_2^2\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =\frac{5}{2}{x}_1{\dot{x}}_1+\frac{1}{2}{x}_1{\dot{x}}_2+\frac{1}{2}{x}_2{\dot{x}}_1+\frac{1}{2}{x}_2{\dot{x}}_2\\ & =\frac{5}{2}{x}_1{x}_2+\frac{1}{2}{x}_1(-2x_1-3x_2)+\frac{1}{2}{x}_2{x}_2+\frac{1}{2}{x}_2(-2x_1-3x_2)\\ & =-x_1^2-x_2^2\end{array}$$

验证了设计的正确性。

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二、非线性系统

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考虑非线性自治系统

$$x=\dot{f}(x)\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

自治系统是指不明确依赖于时间的系统，简单地，可以理解为时不变系统。自治系统可以使用微分方程组 $x=\dot{f}(x)$ 表示，而非自治系统则表示为 $x=\dot{f}(x,t)$。例如 $x=\dot{x}$ 为自治系统，虽然解 $x(t)=e^t$ 以时间为自变量，而 $x=\dot{x}+t$则为非自治系统。

2.1 Krasovskii方法

2.1.1 原理

假设原点是系统的平衡点，设 $A(x)$ 为系统的雅可比矩阵：

$$A(x)=\frac{\partial f}{\partial x}\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

若 $F=A+A^T$ 在原点的领域$\Omega$内是负定的，那么原点是一个渐进稳定的平衡点，且系统Lyapunov函数可设计为：

$$V(x)=f^T(x)f(x)\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

若$\Omega$是整个状态空间，且$V(x)$ 径向无界，则平衡点全局渐进稳定。

径向无界指的是： $||x||\to \infty$时，$||V(x)||\to \infty$

2.1.2 例子

$$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_1=-x_1+x_2\\ & {\dot{x}}_2=x_1-x_2-x_2^3\end{array}$$

则原点是一个平衡点，且：
$$\begin{array}{rlr}A(x)& =\frac{\partial f}{\partial x}& =\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 1& -1-3x_2^2\end{array}\right]\end{array}$$

因为：

$$F(x)=A(x)+A^T(x)=\left[\begin{array}{cc}-2& 2\\ 2& -2-6x_2^2\end{array}\right]$$

易得 $F(x)$ 负定（注意：正定时各阶代数主子式都为正；负定时奇数阶代数主子式为负，偶数阶代数主子式为正）。

因此原点是渐进稳定的，一个Lyapunov 函数为

$$V(x)=f^T(x)f(x)=(-x_1+x_2{)}^2+(x_1-x_2-x_2^3{)}^2$$

注意到$V(x)$ 径向无界，故原点是全局渐进稳定的。

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2.2 推广的 Krasovskii 定理

2.2.1 原理

由于很多系统的雅可比矩阵并不满足正定条件，而且对于高阶系统，难以验证矩阵 $F(x)$ 对一切 $x$ 负定，因此推广的 Krasovskii 定理在很多时候很有用。

对于自治非线性系统(2.1)，假设原点是一个平衡点。$A(x)$ 为系统雅克比矩阵，如果存在两个正定矩阵 $P$和$Q$，使得

$$F(x)=A^{T}P+PA+Q\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

在原点某个领域 $\Omega$ 内半负定，则系统原点是渐进稳定的。此时一个Lyapunov函数为：

$$V(x)=f^T(x)Pf(x)\text{\hspace{1em}(2.5)}$$

若$\Omega$ 是整个状态空间，且$V(x)$径向无界，则平衡点全局渐进稳定。

2.2.2 例子

$$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_1=x_2\\ & {\dot{x}}_2=-\sin x_1-x_2\end{array}$$

则：

$$A(x)=\frac{\partial f}{\partial x}=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -\cos x_1& -1\end{array}\right]$$

容易发现$A(x)$并不是正定的，实际上很多时候有类似 ${\dot{x}}_1=x_2$ 情况，系统转移矩阵都不是正定的。

取
$$P=\left[\begin{array}{cc}{p}_{11}& p_{12}\\ p_{21}& p_{22}\end{array}\right]Q=\left[\begin{array}{cc}{q}_{11}& q_{12}\\ q_{21}& q_{22}\end{array}\right]$$

则

$$\begin{array}{rl}F(x)& =A^{T}P+PA+Q\\ & =\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -\cos x_1& -1\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}-(p_{21}+p_{12})\cos x_1& p_{11}-p_{12}-p_{22}\cos x_1\\ p_{11}-p_{21}-p_{22}\cos x_1& p_{12}+p_{21}-2p_{22}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{q}_{11}& q_{12}\\ q_{21}& q_{22}\end{array}\right]\end{array}$$

为了简化运算且满足 $P$正定，不妨设 $p_{12}=p_{21}=1,p_{11}=p_{22}=2$，则

$$\begin{array}{r}F(x)=\left[\begin{array}{cc}-2\cos x_1& 1-2\cos x_1\\ 1-2\cos x_1& -2\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{q}_{11}& q_{12}\\ q_{21}& q_{22}\end{array}\right]\end{array}$$

此时，$F(x)$ 的一阶主子式为 $F_1=-2\cos x_1$在 $x\in (-\pi /2,\pi /2)$ 上小于零，二阶主子式$F_2$大于零则 $F(x)$ 负定。

$$\begin{array}{rl}{F}_2& =4\cos x_1-(1-2\cos x_1{)}^2\\ & =-4\cos x_1^2+8\cos x_1-1\\ & >0\end{array}$$

解得：

$$1-\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos x_1<1+\frac{\sqrt{3}}{2}$$

即$x_1$ 大约在-82.3°~82.3°之间，系统渐进稳定。对于矩阵 $Q$，我们可以选取一个无穷小的对角阵，这样几乎不影响 $F(x)$的负定。因此该系统是局部渐进稳定的。

容易得出，一个备选的Lyapunov函数为：

$$\begin{array}{rl}V(x)& =f^T(x)Pf(x)\\ & =2x_2^2+2(\sin x_1+x_2{)}^2+2x_2(-\sin x_1-x_2)\\ & =2(x_2^2+x_2\sin x_1+{\sin }^2{x}_1)\end{array}$$

此例实际是有摩擦单摆的例子，理论上单摆在(-90°~90°) 之间都能稳定在平衡点，但是由于矩阵$P$的选择并不唯一，因此得出的稳定区间也并不相同。顺变一说，此例为个人计算，不排除有错误的可能性，如有错误，欢迎指正。

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2.3 待定梯度法

2.3.1 原理

待定梯度法通过以下步骤构造Lyapunov函数：

首先假设梯度是各个变量的线性组合，

$$\nabla V_i=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j$$

其次，保证梯度满足旋度条件，

$$\frac{\partial \nabla V_i}{\partial x_j}=\frac{\partial \nabla V_j}{\partial x_i}$$

最后，根据梯度与原函数的关系，分步积分得到原函数，

$$\begin{array}{rl}V(x)& ={\int }_0^x\nabla Vdx\\ & ={\int }_0^{x_1}\nabla V_1(x_1,0,...,0)d{x}_1+{\int }_0^{x_2}\nabla V_2(x_1,x_2,0,...,0)d{x}_2+...+{\int }_0^{x_n}\nabla V_1(x_1,x_2,...,x_n)d{x}_n\end{array}$$

2.3.2 例子

$$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_1=-x_1\\ & {\dot{x}}_2=-x_2+x_1{x}_2^2\end{array}$$

首先，假设待定Lypapunov函数的梯度为：

$$\begin{gathered} \nabla V_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2 \\ \nabla V_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2 \end{gathered}$$

旋度条件要求：

$$\frac{\partial \nabla V_1}{\partial x_2}=\frac{\partial \nabla V_2}{\partial x_1}$$

即 $a_{12}=a_{21}$，

$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =\nabla V\dot{x}\\ & =(a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2)(-x_1)+(a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2)(-x_2+x_1{x}_2^2)\\ & =-a_{11}{x}_1^2-(a_{12}+a_{21})x_1{x}_2-a_{22}{x}_2^2+a_{22}{x}_1{x}_2^3\end{array}$$

为了使得 $\dot{V}(x)$负定，取 $a_{12}=a_{21}=0$，$a_{11}=a_{22}=1$，则

$$\dot{V}=-x_1^2-x_2^2(1-x_1{x}_2)$$

当$x_1{x}_2<1$时，系统渐进稳定。相应地：

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^{x_1}\nabla V_1(x_1,0)d{x}_1+{\int }_0^{x_2}\nabla V_2(x_1,x_2)d{x}_2\\ & ={\int }_0^{x_1}{x}_{1}d{x}_1+{\int }_0^{x_2}{x}_{2}d{x}_2\\ & =\frac{1}{2}{x}_1^2+\frac{1}{2}{x}_2^2\end{array}$$

函数正定，是一个可行的Lyapunov函数。

说实话，个人对待定梯度法并不是很看好，因为旋度条件只保证梯度积分结果的唯一性，而不能保证$\dot{V}$ 负定且$V$ 正定，这两个核心条件依旧需要合理选择参数来实现。

— 完 —