【图论】缩点的综合应用(一)

一.缩点的概念

 缩点,也称为点缩法(Vertex Contraction),是图论中的一种操作,通常用于缩小图的规模,同时保持了图的某些性质。这个操作的目标是将图中的一些节点合并为一个超级节点,同时调整相关边,以便保持图的连通性和其他性质。

具体步骤如下:

  1. 选择一个要缩点的节点:选择图中的一个节点,将它合并到另一个节点上。

  2. 合并节点:将选定的节点合并到另一个节点上,形成一个新的超级节点。通常情况下,选择入度或出度较小的节点进行合并,以减小新图的规模。

  3. 调整边:将与被合并节点相邻的边重新连接到新的超级节点上。注意要避免重复边和自环。

  4. 重复步骤1~3:继续选择节点进行缩点,直到不满足合并条件为止。

缩点操作通常用于算法设计和图分析中,有时可以用来简化图的复杂性,减少问题的规模。在一些情况下,缩点操作可能会破坏某些图的属性,因此在使用时需要谨慎考虑。此外,缩点操作后的图可能不再是原始问题的精确表示,可能会导致问题的近似解。


二.缩短的作用 

把一个环缩为一个超级点,可以由有环图-->DAG,从而更好的解决问题。

总之就是我们不想要环,直接缩为一个点,我们可以更好地解决问题,就就可以使用缩点法。


三.模板题

P3387 【模板】缩点 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)


四.思路

1.求点权之和最大,我们可以想到什么?最小生成树。

2.但这只需要解决一条路径的点权值最大,那可以怎么解决?拓扑+DP。

3.但是...拓扑只能解决DAG,这有环啊!!! 我们把环缩成一个超级点,然后再建一个新图不就行了吗?理论通过,实践开始!


五.实践

(1)tarjan缩点

主函数部分:

scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&p[i]);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add(u,v);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!dfn[i]) tarjan(i);
	}

tarjan:

void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++num;
	sta[++top]=u;
	ins[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
		int v=edge[i].v;
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}else if(ins[v]){
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	if(dfn[u]==low[u]){
		int j=0;
		while(1){
			j=sta[top--];
			ins[j]=0;
			h[j]=u; //j从此属于u 
			if(j==u) break;
			p[u]+=p[j]; //点权值合并到第一个点(u点)上 
		}
	}
}

(2)重新建图

	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=h[edge[i].u],v=h[edge[i].v];
		if(u!=v){ //不在一个环 
			add2(u,v);
			in[v]++; //入度++,拓扑用 
		}
	}

(3)拓扑排序+DP

int topu(){
	queue q;
	for(int i=1;i<=n;i++){ 
		if(!in[i] && i==h[i]){
			q.push(i); //这是这条路径的起点 
			dp[i]=p[i];  //记得赋值 
		} 
		
	}
	//拓扑基础 
	while(!q.empty()){
		int k=q.front(); q.pop();
		for(int i=head2[k];i;i=ed[i].next){
			int v=ed[i].v;
			dp[v]=max(dp[v],dp[k]+p[v]);
			in[v]--;
			if(!in[v]) q.push(v);
		}
	}
	//找最大值,不一定n就最大,毕竟不止一条路 
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
	return ans;
}


六.参考代码(完整代码)

#include
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,m;
int p[maxn];
struct Edge{
	int u,v,next;
}edge[maxn],ed[maxn];
int head[maxn],head2[maxn],cnt,cnt2;
void add(int u,int v){
	edge[++cnt]=(Edge){u,v,head[u]}; head[u]=cnt;
}
void add2(int u,int v){
	ed[++cnt2]=(Edge){u,v,head2[u]}; head2[u]=cnt2;
}
int dfn[maxn],low[maxn],num;
int sta[maxn],ins[maxn],top;
int lg,h[maxn]; //环的个数,成员属于哪个环 
void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++num;
	sta[++top]=u;
	ins[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
		int v=edge[i].v;
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}else if(ins[v]){
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		}
	}
	if(dfn[u]==low[u]){
		int j=0;
		while(1){
			j=sta[top--];
			ins[j]=0;
			h[j]=u; //j从此属于u 
			if(j==u) break;
			p[u]+=p[j]; //点权值合并到第一个点(u点)上 
		}
	}
}
int in[maxn],dp[maxn];
int topu(){
	queue q;
	for(int i=1;i<=n;i++){ 
		if(!in[i] && i==h[i]){
			q.push(i); //这是这条路径的起点 
			dp[i]=p[i];  //记得赋值 
		} 
		
	}
	//拓扑基础 
	while(!q.empty()){
		int k=q.front(); q.pop();
		for(int i=head2[k];i;i=ed[i].next){
			int v=ed[i].v;
			dp[v]=max(dp[v],dp[k]+p[v]);
			in[v]--;
			if(!in[v]) q.push(v);
		}
	}
	//找最大值,不一定n就最大,毕竟不止一条路 
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans=max(ans,dp[i]);
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&p[i]);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add(u,v);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!dfn[i]) tarjan(i);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u=h[edge[i].u],v=h[edge[i].v];
		if(u!=v){ //不在一个环 
			add2(u,v);
			in[v]++; //入度++,拓扑用 
		}
	}
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