【图论】缩点的综合应用（一）
一.缩点的概念
缩点，也称为点缩法（Vertex Contraction），是图论中的一种操作，通常用于缩小图的规模，同时保持了图的某些性质。这个操作的目标是将图中的一些节点合并为一个超级节点，同时调整相关边，以便保持图的连通性和其他性质。
具体步骤如下：
-
选择一个要缩点的节点：选择图中的一个节点，将它合并到另一个节点上。
-
合并节点：将选定的节点合并到另一个节点上，形成一个新的超级节点。通常情况下，选择入度或出度较小的节点进行合并，以减小新图的规模。
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调整边：将与被合并节点相邻的边重新连接到新的超级节点上。注意要避免重复边和自环。
-
重复步骤1~3：继续选择节点进行缩点，直到不满足合并条件为止。
缩点操作通常用于算法设计和图分析中，有时可以用来简化图的复杂性，减少问题的规模。在一些情况下，缩点操作可能会破坏某些图的属性，因此在使用时需要谨慎考虑。此外，缩点操作后的图可能不再是原始问题的精确表示，可能会导致问题的近似解。
二.缩短的作用
把一个环缩为一个超级点，可以由有环图-->DAG，从而更好的解决问题。
总之就是我们不想要环，直接缩为一个点，我们可以更好地解决问题，就就可以使用缩点法。
三.模板题
P3387 【模板】缩点 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)
四.思路
1.求点权之和最大，我们可以想到什么？最小生成树。
2.但这只需要解决一条路径的点权值最大，那可以怎么解决？拓扑+DP。
3.但是...拓扑只能解决DAG，这有环啊!!! 我们把环缩成一个超级点，然后再建一个新图不就行了吗？理论通过，实践开始！
五.实践
（1）tarjan缩点
主函数部分：
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&p[i]);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!dfn[i]) tarjan(i);
}tarjan:
void tarjan(int u){
dfn[u]=low[u]=++num;
sta[++top]=u;
ins[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}else if(ins[v]){
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
if(dfn[u]==low[u]){
int j=0;
while(1){
j=sta[top--];
ins[j]=0;
h[j]=u; //j从此属于u
if(j==u) break;
p[u]+=p[j]; //点权值合并到第一个点（u点）上
}
}
}（2）重新建图
for(int i=1;i<=m;i++){
int u=h[edge[i].u],v=h[edge[i].v];
if(u!=v){ //不在一个环
add2(u,v);
in[v]++; //入度++，拓扑用
}
}（3）拓扑排序+DP
int topu(){
queue q;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!in[i] && i==h[i]){
q.push(i); //这是这条路径的起点
dp[i]=p[i]; //记得赋值
}
}
//拓扑基础
while(!q.empty()){
int k=q.front(); q.pop();
for(int i=head2[k];i;i=ed[i].next){
int v=ed[i].v;
dp[v]=max(dp[v],dp[k]+p[v]);
in[v]--;
if(!in[v]) q.push(v);
}
}
//找最大值，不一定n就最大，毕竟不止一条路
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=max(ans,dp[i]);
}
return ans;
} 六.参考代码（完整代码）
#include
#define maxn 100005
using namespace std;
int n,m;
int p[maxn];
struct Edge{
int u,v,next;
}edge[maxn],ed[maxn];
int head[maxn],head2[maxn],cnt,cnt2;
void add(int u,int v){
edge[++cnt]=(Edge){u,v,head[u]}; head[u]=cnt;
}
void add2(int u,int v){
ed[++cnt2]=(Edge){u,v,head2[u]}; head2[u]=cnt2;
}
int dfn[maxn],low[maxn],num;
int sta[maxn],ins[maxn],top;
int lg,h[maxn]; //环的个数，成员属于哪个环
void tarjan(int u){
dfn[u]=low[u]=++num;
sta[++top]=u;
ins[u]=1;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next){
int v=edge[i].v;
if(!dfn[v]){
tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}else if(ins[v]){
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
if(dfn[u]==low[u]){
int j=0;
while(1){
j=sta[top--];
ins[j]=0;
h[j]=u; //j从此属于u
if(j==u) break;
p[u]+=p[j]; //点权值合并到第一个点（u点）上
}
}
}
int in[maxn],dp[maxn];
int topu(){
queue q;
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!in[i] && i==h[i]){
q.push(i); //这是这条路径的起点
dp[i]=p[i]; //记得赋值
}
}
//拓扑基础
while(!q.empty()){
int k=q.front(); q.pop();
for(int i=head2[k];i;i=ed[i].next){
int v=ed[i].v;
dp[v]=max(dp[v],dp[k]+p[v]);
in[v]--;
if(!in[v]) q.push(v);
}
}
//找最大值，不一定n就最大，毕竟不止一条路
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
ans=max(ans,dp[i]);
}
return ans;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&p[i]);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int u,v;
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
if(!dfn[i]) tarjan(i);
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int u=h[edge[i].u],v=h[edge[i].v];
if(u!=v){ //不在一个环
add2(u,v);
in[v]++; //入度++，拓扑用
}
}
cout<