关于0-1背包问题的解题思路

有N件物品和一个最大重量为W的背包，每件物品重量weight[i]，价值是value[i]。每件物品只能取一次，背包能保存的最大价值是多少？

动态规划五部曲：

a) 确定dp数组以及下标的含义

b) 确定递推公式

c) dp数组的初始化

d) 确定遍历顺序

e) 举例推导dp数组

解题思路：

1) 确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]的定义为：从0~i的物品中任意取，背包容量为j的情况下价值总和最大是dp[i][j]

2) 递推公式

dp[i][j]从逻辑分析上来看，有两个来源：即不放入物品i，那么dp[i][j] = dp[i-1][j]（表明在j容量下，物品i所占重量对应的价值小于0~i-1物品中选取的其余价值）。放入物品i，dp[i][j] = value[i] + dp[i-1][j-weight[i]]

最终得出dp[i][j]取上述两种来源的最大值。

公式：dp[i][j] = Max(dp[i-1][j], value[i] + dp[i-1][j-weight[i]])

3) dp数组初始化

根据dp数组的定义，背包容量为0时，最大价值永远为0。dp[i][0] = 0

根据递推公式可知，i取决于i-1，所以要对i=0时的状态做初始化。也就是只存放物品0时，各个背包容量下的最大价值dp[0][j]

编码：

第一层循环物品，第二层循环背包容量

public static int packageOneOrZero(int[] weights, int[] values, int packageWeight) {
    // 定义dp[i][j]表示 从0~i的物品中任意放入容量为j的背包，最大价值总和为dp[i][j]
    int[][] dp = new int[values.length][packageWeight + 1];

    // dp[0][j]初始化
    for (int j = packageWeight; j >= weights[0]; j--) {
    dp[0][j] = dp[0][j - weights[0]] + values[0];
    }

    for (int i = 1; i < values.length; i++) {
    for (int j = 0; j <= packageWeight; j++) {
    if (j < weights[i]) {
    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
    } else {
    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - weights[i]] + values[i], dp[i - 1][j]);
    }
    }
    }
    return dp[values.length - 1][packageWeight];
    }

    public static void main(String[] args) {
    int[] weights = new int[] {1, 3, 4};
    int[] values = new int[] {15, 20, 30};

    System.out.println(packageOneOrZero(weights, values, 4));
}

简化思路：将i-1和i进行合并，即使用一维数组进行运算

重新定义dp数组： dp[j]表示容量为j的背包，可以背的最大价值和为dp[j]

递推公式： dp[j] = Max(dp[j], dp[j – weight[i]] + value[i])，实现了dp[j]的复用

递推方向：为保证不重复取用物品，所以对于背包容量j的循环是倒序的

编码：

class Solution {
    public static int packageOneOrZero(int[] weights, int[] values, int packageWeight) {
        int[] dp = new int[packageWeight + 1];

        for (int i = 0; i < weights.length; i++) {
            for (int j = packageWeight; j >= weights[i]; j--) {
                dp[j] = Math.max(dp[j - weights[i]] + values[i], dp[j]);
            }
        }
        return dp[packageWeight];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] weights = new int[] {1, 3, 4};
        int[] values = new int[] {15, 20, 30};

        System.out.println(packageOneOrZero(weights, values, 4));
    }
}