【每日一题Day312】LC2240买钢笔和铅笔的方案数 | 完全背包 数学

买钢笔和铅笔的方案数【LC2240】

给你一个整数 total ，表示你拥有的总钱数。同时给你两个整数 cost1 和 cost2 ，分别表示一支钢笔和一支铅笔的价格。你可以花费你部分或者全部的钱，去买任意数目的两种笔。

请你返回购买钢笔和铅笔的 不同方案数目 。

一眼背包问题 原来数学也可以解决

完全背包

• 思路

  问题可以转化为，两种物品重量分别为cost1和cost2，背包最大容量为total，物品数量不限时，填满不同背包容量时总共方案数

  • 状态定义：$dp[i]$为花费$i$元去买任意数目的两种笔的方案数

  • 状态转移

    先遍历物品，再遍历背包容量
    $$dp[i]+=dp[i-cost[j]]$$

  • 状态初始化：花费0元时，$dp[0]=1$

• 实现

  class Solution {
      public long waysToBuyPensPencils(int total, int cost1, int cost2) {
          long[] dp = new long[total + 1];// 花费i元去买任意数目的两种笔的方案数
          dp[0] = 1L;// 花费0元
          // 遍历物品钢笔
          for (int i = cost1; i <= total; i += cost1){
              dp[i] += dp[i - cost1];
          }
          // 遍历物品铅笔
          for (int i = cost2; i <= total; i++){      
              dp[i] += dp[i - cost2];
              
          }
          // 遍历记录总共的方案数目
          long res = 0L;
          for (int i = 0; i <= total; i++){
              res += dp[i];
          }
          return res;
      }
  }
  

  • 复杂度
    • 时间复杂度：$\mathcal{O}(n)$
    • 空间复杂度：$\mathcal{O}(n)$

数学

• 思路

  枚举可以购买钢笔的数量$i$，使用剩下的钱$left=total-i\ast cost1$购买铅笔的最多数量为$j=left/cost2$，那么购买$i$支钢笔$x\in [0,j]$支铅笔的方案数为$j+1$，累加即可得到最中结果

• 实现

  class Solution {
      public long waysToBuyPensPencils(int total, int cost1, int cost2) {
          long res = 0L;
          for (int i = 0; i <= total; i += cost1){
              res += (total - i) / cost2 + 1;
          }
          return res;
      }
  }
  

  • 复杂度
    • 时间复杂度：$\mathcal{O}(n)$
    • 空间复杂度：$\mathcal{O}(1)$