为什么小角度的弧度值可以近似等于正切值或者正弦值?

经常在论文里发现,一些小角度的值经常等于其正切或者正弦值,而不是再经过一轮反三角函数的计算,这是什么原因?

其实,这是采用了近似计算的方式,在一些代数书中,经常可以看到这样一句话,“当角度很小时,角度的正弦函数值或者正切函数值近似相等于角度值”。那么问题来了,“角度很小”到底要多小?“近似相等”究竟有多近似?

为了回答这两个问题,我们可以做一张表格,实际分析一下。下图就是我用Excel做的表格,角度按1°递增,然后分别计算其对应的弧度值,正切值,正弦值。另外,计算了δ1和得δ2,分别对应正切值和弧度的偏差,以及正弦值和弧度值的偏差。另,下表中π的取值使用Excel中的pi()函数,精度远高于3.1415926。从表格数据可以得到如下清晰的结论:

  1. 所谓角度和正切/正弦相等,是指角度用弧度方式的表达,如果是用角度表达的话,偏差还是很大的。所以下面的结论不再使用角度,而是使用弧度,避免有歧义。
  2. 正弦和弧度的近似程度更好,这一点可以从δ2与δ1的对比观察得出,在20°范围内,大致上,正切与弧度的偏差是正弦与弧度偏差的两倍
  3. 正切的近似值会比弧度真实值偏大,正弦的近似值会比弧度真实值偏小

为什么小角度的弧度值可以近似等于正切值或者正弦值?_第1张图片
在具体使用过程中,可以参考以下的考量加以应用

  1. 角度在3°范围内,近似精度相当好,误差范围都在10-5弧度(5.73*10-4 度)这个水平,对于绝大多数工程应用,这个误差量级完全可以接受,换句话说,3°范围内以内,弧度值=正切值=正弦值。
  2. 角度在3-10°范围内,近似程度依然很好,但是在10°时,已经下降到了0.001弧度量级(0.057°)的水平,对于一些精密度要求高的工程应用,已经无法忽略此误差了。
  3. 如果只是用于估算目的,角度误差在1°(0.01745弧度值)情况下,使用正切,可以估算20°以内的角度,使用正弦,可以估算27°以内的角度
  4. 正切和正弦都是奇函数,即负弧度值只是让函数值取负,因此上述所有的结论都可以扩展成为正负区间。

总结一下核心要点

  • ±3°以内,弧度=正切=正弦 (最大近似误差在10-5弧度或5.73*10-4 度量级)
  • ±10°以内,最大近似误差在0.001弧度量级(0.057°)的量级
  • 正弦比正切近似度更好
  • 若允许1°的估算误差,正切可以估算±20°以内的角,正弦可以估算±27°以内的角

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