线性代数一（基本概念）

•        ①   https://blog.csdn.net/qq_16555103/article/details/88378009    ---------- 几个重要的矩阵点积
•        ②     AB等价 、  AB相似 、   AB 合同。
•        ③   C’C一定是对称矩阵（C’C的转置 == C’C）

一、线性代数基本知识：

1、线性：

                数乘运算与加法运算 呈现 线性。

2、

二、向量：

1、向量的表示方法：

       其中的 i、j、k是坐标轴方向的单位向量。

2、向量的模：

用坐标计算的方法：

3、向量的运算：

（1）向量的加法减法：

                         

（2）向量的数乘：

                                   拉格朗日乘数法的 基础 公式。

（3）向量的数量积（点积、内积）：

 

（4）向量的的向量积（外积、叉积）：

（5）正交向量：

三、矩阵基本知识：

•             理解：①矩阵是一个向量组，由许多 行向量 和 纵向量 组成。
•                        ②矩阵方程求解 用增广矩阵初等变换化为 E 。齐次/非齐次方程组 的解用 初等变化 化为 行最简阶梯型。   
•                        ③初步认为由多元一次方程组的系数组成（区别于矩阵初等变换求解矩阵方程）。矩阵是一种线性变换，可以将一些向量转化为另一种向量。
•                        ④ 矩阵乘法没有消去律与交换律

2、矩阵的直观感受：

3、矩阵与向量：

               理解：A（m*n）每一行 或者 每一列 都属于 向量。  

四、矩阵的分类：

1、相等矩阵：

①矩阵的形状相同（行数的列数）

②对应元素相同。

2、同形矩阵：

矩阵的形状相同。

3、方阵：

                  只有方阵才具有对角线。

                  矩阵A中 m = n，称之为方阵。

4、负矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：

5、对角矩阵：是方阵

     1、对角矩阵的展示：可以用 上尖角 符号表示，如下：

      2、对角矩阵的迹：   trA

7、单位矩阵：常常用 E或I 来表示。它是一个方阵。

              特性：A * E = A （A的列 = E 的行数）任何    矩阵 * 单位矩阵都是它本身。

8、零矩阵：

                        记号用 0  来表示。

9、对称矩阵：方阵

              注意：对称矩阵一定是方阵（只有方阵才有对角线）。

五、矩阵的运算：

1、矩阵的加减：

              前提：两个矩阵必须是同形矩阵。

              矩阵加减具有交换律，矩阵矩阵相乘没有交换律。

      计算结果：元素级运算。

2、矩阵的数乘：

            计算结果：元素级运算。这里要区别与行列式的数乘。

3、矩阵与向量的乘法：

              前提：矩阵的列数等于向量的行数。

•               计算方式：左列 = 右行条件下 ，前行 * 后列 对应元素乘积的和。

4、矩阵与矩阵的乘法：

                得到的新矩阵由  左行右列  决定 行与列。即：（m*n）* (n*s)  >>>> (m*s)

• 注意：矩阵与矩阵的乘法中没有交换律：           AB  != BA（A B 互逆除外 ）
• 当A逆矩阵存在时时：AC = AD  >>>>>  C = D  原因：并不是消去律，而是两边同时 乘上 A的逆矩阵化简。 

5、矩阵的转置：

                   理解：对角线翻转。

                   转置的性质：

六、行列式基本知识：

1、行列式的特性：

             理解：矩阵的一种运算方式。

            ①行列式一定是个方阵。

2、行列式的计算方法：

             定义：所有不同行不同列的元素组合乘积的和。

（1）通过行列式的定义去计算：对角法则。

•    逆序数的概念：t 

                          

•      方阵行列式计算方法

方阵行列式的值：所有不同行不同列的元素的代数和（正负号有行与列的逆序数决定） -------- 对角线法则的本质

（2）利用行列式的性质将行列式转化为上三角行列式：

               转化时：从下到下，从左向右。

 

        ①行列式的性质 ：

             性质一：       

                      本质：行列式的逆序数改变，符号要发生改变

                性质二：行列式的数乘（一定要区别于矩阵的数乘）

               性质三：

行列式如果某一行或某一列与另一行或者另一列存在倍数或者相同，行列式的数值为零。

               性质四：行列式之间的加法：

前提：①两个行列式形状相同。
       ②两个行列式仅有一行或一列的元素不相同。
结果：相同元素覆盖照抄，不同元素的行全部对应相加。（列同理）

                          例：                 

               性质五：

                例：

                  答案： 

 （3）根据某行或者某列的代数余子式展开：     

                               对于任意 一行/一列 展开

3、行列式余子式和代数余子式：

                  以三阶行列式为例：

 

4、伴随矩阵：

                                    表达式结论：    A 是一个 n阶 方阵。E 单位矩阵。

                                                                该结果是一个对角矩阵，对角线的元素都是  | A | 的 值。

              即：

 5、方阵的逆：只有方阵才有逆。

        1、可逆矩阵的定义：

理解：① 可逆方阵      <<<   >>>      可以初等变换为  E   即： AB  = BA  = E 
     ② 可逆方阵      <<<   >>>        | A | != 0 ，即 可逆矩阵（非奇异矩阵）是满秩的方阵
     ③ 可逆矩阵向量组中的向量均线性无关（存在线性相关的向量组不是满秩矩阵）

        2、方阵可逆的充要条件： 两个条件等价。

                              ①

                              ② 矩阵行列式的值 | A | ！=  0 。

 

         3、可逆方阵的性质：

       4、n阶方阵逆矩阵的计算：

                第一种方法：

              ②第二种方法：

                          利用A 与 E 的增广矩阵 的初等变换 >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>..     求解出 A的逆矩阵。 

七、矩阵的初等变换：                 

• 注意：矩阵换行与行列式换行不同（行列式的换行值的符号会发生变化）
• 矩阵的  初等列变换 与  初等行变换  统称为初等变换。​​​​
• 可以通过  初等行变换  转化为  E  的方阵为可逆方阵，否则为奇异矩阵。
• 初等变换的顺序： 将哪行下面（上面）的数值化为零就将 该行 数乘整数 加到下面（上面）的行上

       矩阵初等变换的理解：线性方程组加减消元。

               初等变换的三种方式：

 

 1、增广矩阵：

               记做： B = （A，b）

2、初等变换的性质：

2、矩阵初等变换的分类：

（1、普通的行阶梯矩阵：

（2、行最简形矩阵：

       

 

 

（3、标准形矩阵：

特性：

   

3、初等变换的定理：

                其中： PA = B 是初等变化的  代数 表达形式。P是某个可逆方阵。

           方阵可逆的充要条件： 

4、初等变换的应用：

（1）利用初等行变换求解逆矩阵：

•             例：求解A 的逆矩阵：
•                     思路：将A 与 E 创建 增广矩阵 B ， B= （A，E） >>>>>  通过初等行变换 >>>>>>  (E，P）  P 就
•                                是A的 可逆矩阵：P * A = E。 

（2）利用初等行变换求解方程组的解：

思路：类似上述求解逆矩阵的方法：     

 解法：增广矩阵：

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