线性代数基础-行列式

一、行列式之前的概念

1.全排列：

把n个不同的元素排成一列，称为n个元素的全排列，简称排列

（实际上就是我们所说的排列组合，符号是A，arrange）

2.标准序列：

前一项均小于后一项的序列就是标准序列

比如 1，3，6，7，9就是标准序列

3.逆序数：

序列中满足前一项大于后一项的数对个数

比如有一个序列：{1，6，9，2，3，4}
遍历该序列，看每个数之前有几个数比它大，加和就是逆序数的值

4.奇偶排列

排列的奇偶性与逆序数的奇偶性相同

5.对换

将序列里任意两个元素交换，这个过程叫对换

对换相邻元素的，称为“相邻对换”

经过任一次对换，排列的奇偶性改变

奇排列变成标准序列的对换次数是奇数，偶排列变成标准序列的对换次数是偶数

二、N阶行列式的展开

∣ a b c d ∣ = a d − b c \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad-bc ​ac​bd​ ​=ad−bc

有n行n列的这样的式子是n阶行列式，上图为二阶行列式

∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ( a 11 ∗ a 22 ∗ a 33 ) − ( a 11 ∗ a 23 ∗ a 32 ) + ( a 12 ∗ a 23 ∗ a 31 ) − ( a 12 ∗ a 21 ∗ a 32 ) + ( a 13 ∗ a 21 ∗ a 32 ) − ( a 13 ∗ a 22 ∗ a 31 ) \begin{vmatrix} a11 & a12&a13 \\ a21 & a22&a23\\ a31&a32&a33 \end{vmatrix} = (a11*a22*a33)-(a11*a23*a32)+(a12*a23*a31)-(a12*a21*a32)+(a13*a21*a32)-(a13*a22*a31) ​a11a21a31​a12a22a32​a13a23a33​ ​=(a11∗a22∗a33)−(a11∗a23∗a32)+(a12∗a23∗a31)−(a12∗a21∗a32)+(a13∗a21∗a32)−(a13∗a22∗a31)

而行列式的值应按照以下规则计算
按**序列奇偶性(见上文)**决定符号,并逐行把数字相乘：

我们可以把矩阵理解为一个值，甚至常数，所以它满足我们学过的一切乘法，加法性质

三、三角行列式

主对角线：左上到右下
上三角行列式的主对角线下方都是0，行列式值等于主对角线乘积
注意：左下到右上不是主对角线

1.三角行列式

上三角行列式
∣ 1 2 3 0 1 2 0 0 2 ∣ = 1 ∗ 1 ∗ 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 &3\\ 0 & 1&2\\ 0&0&2 \end{vmatrix} = 1 * 1 *2 ​100​210​322​ ​=1∗1∗2
下三角行列式
∣ 1 0 0 4 1 0 3 1 2 ∣ = 1 ∗ 1 ∗ 2 \begin{vmatrix} 1 & 0 &0\\ 4 & 1&0\\ 3&1&2 \end{vmatrix} = 1 * 1 *2 ​143​011​002​ ​=1∗1∗2
对角行列式
∣ 1 0 0 0 1 0 0 0 2 ∣ = 1 ∗ 1 ∗ 2 \begin{vmatrix} 1 & 0 &0\\ 0 & 1&0\\ 0&0&2 \end{vmatrix} = 1 * 1 *2 ​100​010​002​ ​=1∗1∗2

四、行列式的性质

1.转置

对每一列，从上到下书写到行上，行列式的值不变
D = ∣ a b c d e f g h i ∣ = D T = ∣ a d g b e h c f i ∣ D = \begin{vmatrix} a & b &c\\ d & e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} =D^T= \begin{vmatrix} a & d &g\\ b & e&h\\ c&f&i \end{vmatrix} D= ​adg​beh​cfi​ ​=DT= ​abc​def​ghi​ ​

2.交换

我们可以交换行列式的任意两行或者两列，但是会导致值变为相反数
推论1：若行列式D交换一次后，仍等于D，则D=0
推论2：若行列式有两行(列)相等，则行列式为0（交换后D=-D）
∣ a b c d e f g h i ∣ = ( − 1 ) ∗ ∣ a b c g h i d e f ∣ \begin{vmatrix} a & b &c\\ d & e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} = (-1)* \begin{vmatrix} a & b &c\\ g & h&i\\ d & e&f \end{vmatrix} ​adg​beh​cfi​ ​=(−1)∗ ​agd​bhe​cif​ ​

3.提取

我们可以把任意一个行或者一列的系数提取到行列式之前
推论：若两行(列)成比例，则行列式为0

∣ 2 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 f g h i ∣ = 2 ∗ ∣ 2 a 2 b 2 c d e f g h i ∣ \begin{vmatrix} 2a &2 b &2c\\ 2d & 2e&2f\\ g&h&i \end{vmatrix} =2* \begin{vmatrix} 2a & 2b &2c\\ d & e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} ​2a2dg​2b2eh​2c2fi​ ​=2∗ ​2adg​2beh​2cfi​ ​

4.拆分

∣ a + x b + y c + z d + w ∣ = ∣ a b + y c d + w ∣ + ∣ x b + y z d + w ∣ \begin{vmatrix} a +x& b+y\\ c +z& d+w\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b+y\\ c & d+w\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x& b+y\\ z& d+w\\ \end{vmatrix} ​a+xc+z​b+yd+w​ ​= ​ac​b+yd+w​ ​+ ​xz​b+yd+w​ ​
我们可以把行列式任意行(列)拆分成和的形式，然后转换为行列式的和
但是要注意我们每次只能拆分一行(列)，多行(列)拆分是错误的
∣ a + x b + y c + z d + w ∣ = ∣ a b c d ∣ + ∣ x y z w ∣ \cancel{ \begin{vmatrix} a +x& b+y\\ c +z& d+w\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x& y\\ z& w\\ \end{vmatrix}} ​a+xc+z​b+yd+w​ ​= ​ac​bd​ ​+ ​xz​yw​ ​ ​

5.调整

把任意一行(列)乘以k之后可以加到另一行(列)上，行列式不变
通常这样得到三角行列式来快捷计算
∣ a b c d e f g h i ∣ = ∣ a b c d + k ∗ a e + k ∗ b f + k ∗ c g h i ∣ ( k 任取 ) \begin{vmatrix} a & b &c\\ d & e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b &c\\ d+k *a & e+k*b&f+k*c\\ g&h&i \end{vmatrix} (k任取) ​adg​beh​cfi​ ​= ​ad+k∗ag​be+k∗bh​cf+k∗ci​ ​(k任取)
例如我们可以轻易把某些行列式调整为三角行列式
∣ 1 1 2 4 3 1 3 2 2 ∣ = ∣ 1 1 2 0 − 1 − 7 0 − 1 − 4 ∣ = ∣ 1 1 2 0 − 1 − 7 0 0 3 ∣ = 1 ∗ ( − 1 ) ∗ 3 = − 3 \begin{vmatrix} 1 & 1 &2\\ 4 & 3&1\\ 3&2&2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 &2\\ 0 & -1&-7\\ 0&-1&-4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 &2\\ 0 & -1&-7\\ 0&0&3 \end{vmatrix} = 1*(-1)*3 = -3 ​143​132​212​ ​= ​100​1−1−1​2−7−4​ ​= ​100​1−10​2−73​ ​=1∗(−1)∗3=−3

五、行列式的余子式和代数余子式

1.余子式

D = ∣ a b c d e f g h i ∣ D =\begin{vmatrix} a & b &c\\ d & e&f\\ g&h&i \end{vmatrix} D= ​adg​beh​cfi​ ​

$M_{ij}是把D划去第i行j列的(n-1)阶行列式$

M 22 = ∣ a b c d e f g h i ∣ = ∣ a c g i ∣ M_{22} = \begin{vmatrix} a & \cancel{b} &c\\ \cancel{d} & \cancel{e} & \cancel{f} \\ g& \cancel{h} &i \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a &c\\ g & i\\ \end{vmatrix} M22​= ​ad ​g​b ​e ​h ​​cf ​i​ ​= ​ag​ci​ ​

2.代数余子式

$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$

3.按行或按列展开

$D_n=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+...+a_{in}{A}_{in}$
这是按行展开，其实就是对某一行遍历，然后划掉当前元素所在行列求代数余子式，然后乘当前位置的值，按列展开同理。

六、特殊行列式

1.和固定型

D n = ∣ a b b . . . b b a b . . . b b b a . . . b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b b b . . . b a ∣ = ∣ a + n b a + n b a + n b . . . a + n b b a b . . . b b b a . . . b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b b b . . . b a ∣ D_{n} =\begin{vmatrix} a & b &b&...&b\\ b & a&b&...&b\\ b&b&a&...&b\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&b\\ b&b&...&b&a\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a+nb & a+nb &a+nb&...&a+nb\\ b & a&b&...&b\\ b&b&a&...&b\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&b\\ b&b&...&b&a\\ \end{vmatrix} Dn​= ​abb......b​bab......b​bba.........​...............b​bbb...ba​ ​= ​a+nbbb......b​a+nbab......b​a+nbba.........​...............b​a+nbbb...ba​ ​

= ( a + n b ) ∣ 1 1 1 . . . 1 b a b . . . b b b a . . . b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b b b . . . b a ∣ =(a+nb) \begin{vmatrix} 1 & 1 &1&...&1\\ b & a&b&...&b\\ b&b&a&...&b\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&b\\ b&b&...&b&a\\ \end{vmatrix} =(a+nb) ​1bb......b​1ab......b​1ba.........​...............b​1bb...ba​ ​
接下来就可以愉快的用第一行把行列式消成三角了
= ( a + n b ) ∣ 1 1 1 . . . 1 0 a − b 0 . . . 0 0 0 a − b . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 0 a − b ∣ = ( a − b ) n − 1 =(a+nb) \begin{vmatrix} 1 & 1 &1&...&1\\ 0 & a-b&0&...&0\\ 0&0&a-b&...&0\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&0\\ 0&0&...&0&a-b\\ \end{vmatrix} = (a-b)^{n-1} =(a+nb) ​100......0​1a−b0......0​10a−b.........​...............0​100...0a−b​ ​=(a−b)n−1

2.范德蒙德行列式

D n = ∣ x 1 0 x 2 0 x 3 0 . . . x n 0 x 1 1 x 2 1 x 3 1 . . . x n 1 x 1 2 x 2 2 x 3 2 . . . x n 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x n n − 1 x 1 n x 2 n x 3 n . . . x n n ∣ = ∣ 1 1 1 . . . 1 x 1 1 x 2 1 x 3 1 . . . x n 1 x 1 2 x 2 2 x 3 2 . . . x n 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x n n − 1 x 1 n x 2 n x 3 n . . . x n n ∣ D_{n} = \begin{vmatrix} x_1^0 & x_2^0 &x_3^0&...&x_n^0\\ x_1^1 & x_2^1 &x_3^1&...&x_n^1\\ x_1^2 & x_2^2 &x_3^2&...&x_n^2\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&x_n^{n-1}\\ x_1^n & x_2^n&x_3^n&...&x_n^n\\ \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 &1&...&1\\ x_1^1 & x_2^1 &x_3^1&...&x_n^1\\ x_1^2 & x_2^2 &x_3^2&...&x_n^2\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&x_n^{n-1}\\ x_1^n & x_2^n&x_3^n&...&x_n^n\\ \end{vmatrix} Dn​= ​x10​x11​x12​......x1n​​x20​x21​x22​......x2n​​x30​x31​x32​......x3n​​..................​xn0​xn1​xn2​...xnn−1​xnn​​ ​= ​1x11​x12​......x1n​​1x21​x22​......x2n​​1x31​x32​......x3n​​..................​1xn1​xn2​...xnn−1​xnn​​ ​

这样的行列式称为“范德蒙德行列式”
一般按照以下规则计算

$$\begin{gathered} D_n={\prod }_{1<=i<j<=n}(x_j-x_i)= \\ ---------------------------- \\ (x_n-x_{n-1})(x_n-x_{n-2})...(x_n-x_1) \\ (x_{n-1}-x_{n-2})(x_{n-1}-x_{n-3})...(x_{n-1}-x_1) \\ ... \\ (x_3-x_2)(x_3-x_1) \\ (x_2-x_1) \end{gathered}$$

证明过程如下

七、克莱姆法则（Cramer’s Rule）

$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+a_{13}{x}_3+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+a_{23}{x}_3+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ...\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+a_{n3}{x}_3+...+a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$
对于这样一个方程组，我们定义一个行列式，只存它的系数，称为”系数行列式”
D n = ∣ a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n a 31 a 32 a 33 . . . a 3 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ( n − 1 ) n a n 1 a n 2 . . . a n ( n − 1 ) a n n ∣ D_{n} =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} &a_{13}&...&a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&...&a_{3n}\\ ...&...&...&...&...\\ ...&...&...&...&a_{(n-1)n}\\ a_{n1}&a_{n2}&...&a_{n(n-1)}&a_{nn}\\ \end{vmatrix} Dn​= ​a11​a21​a31​......an1​​a12​a22​a32​......an2​​a13​a23​a33​.........​...............an(n−1)​​a1n​a2n​a3n​...a(n−1)n​ann​​ ​

应用：克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

• 当方程组的系数行列式不等于零时，方程组且具有唯一解；
• 如果方程组无解或者有两个不同的解，方程组的系数行列式等于零
• 克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都成立。

克莱姆法则的局限性：

• 方程个数与未知数的个数不同时，系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。
• 运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式