线性代数【二】：矩阵的概念与计算
本节为线性代数复习笔记的第二部分，矩阵的概念与计算，主要包括：几个特殊特殊矩阵，矩阵乘法，伴随矩阵，逆矩阵的运算性质以及求矩阵逆的五个方法。
1. 几个特殊矩阵
- 单位矩阵：主对角元素均为1，其余元素全为0的n阶方阵，称为n阶单位矩阵；
- 数量矩阵：数k和单位矩阵的乘积；
- 对角矩阵：非主对角元素均为0的矩阵；
- 对称矩阵：满足条件 A T = A A^T=A AT=A的矩阵；
- 反对称矩阵：满足条件 A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A−1的矩阵；
- 正交矩阵：满足条件 A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A−1或 A A T = A T A = E AA^T=A^TA=E AAT=ATA=E的矩阵。
2. 矩阵乘法
设A是 m × s m \times s m×s矩阵，B是 s × n s \times n s×n矩阵，则A，B可乘，乘积AB是 m × n m \times n m×n矩阵。记 C = A B = ( c i j ) m × n C=AB=(c_{ij})_{m\times n} C=AB=(cij)m×n，C的i行j列元素是A的第i行的s个元素和B的第j列的s个元素两两乘积之和。
e g . α = [ α 1 , α 2 , α 3 ] T ， β = [ b 1 , b 2 , b 3 ] T eg.\alpha=[\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3]^T，\beta=[b_1,b_2,b_3]^T eg.α=[α1,α2,α3]T，β=[b1,b2,b3]T， A = α β T ， 求 A n . A=\alpha\beta^T，求A^n. A=αβT，求An.
解 ： A n = ( α β T ) ( α β T ) . . . ( α β T ) 解：A^n=(\alpha\beta^T)(\alpha\beta^T)...(\alpha\beta^T) 解：An=(αβT)(αβT)...(αβT) = α ( β T α ) n − 1 β T =\alpha(\beta^T\alpha)^{n-1}\beta^T =α(βTα)n−1βT
= ∣ α 1 α 2 α 3 ∣ ( [ b 1 , b 2 , b 3 ] ∣ α 1 α 2 α 3 ∣ ) n − 1 [ b 1 , b 2 , b 3 ] =\left|\begin{matrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{matrix}\right|\left([b_1,b_2,b_3]\left|\begin{matrix}\alpha_1\\\alpha_2\\\alpha_3\end{matrix}\right|\right)^{n-1}[b_1,b_2,b_3] =∣∣∣∣∣∣α1α2α3∣∣∣∣∣∣⎝⎛[b1,b2,b3]∣∣∣∣∣∣α1α2α3∣∣∣∣∣∣⎠⎞n−1[b1,b2,b3]
= [ Σ i = 1 3 α i b i ] n − 1 A =[\Sigma_{i=1}^3\alpha_ib_i]^{n-1}A =[Σi=13αibi]n−1A.
3. 矩阵的逆
3.1 概念
A，B是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，若AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，并称B是A的逆矩阵，逆矩阵是唯一的，记为 A − 1 A^{-1} A−1.
|A|不为0是矩阵A可逆的充要条件。
3.2 伴随矩阵
3.2.1 展开定理的推广对于余子式有这样一个推理： k 1 A i 1 + k 2 A i 2 + . . . + k n A i n = ∣ ∗ k 1 k 2 . . . k n ∗ ∣ k_1A_{i1}+k_2A_{i2}+...+k_nA_{in}=\left|\begin{matrix}&*&&\\k_1&k_2&...&k_n\\&*&& \end{matrix}\right| k1Ai1+k2Ai2+...+knAin=∣∣∣∣∣∣k1∗k2∗...kn∣∣∣∣∣∣
3.2.2 伴随矩阵的定义将行列式|A|的 n 2 n^2 n2个元素的代数余子式【代数余子式本质上是一个“缺斤少两”的原行列式，是一个数】按如下形式排列成的矩阵，称为A的伴随矩阵，记为 A ∗ A^* A∗，有 A A ∗ = ∣ A ∣ E AA^*=|A|E AA∗=∣A∣E.
A A ∗ = [ a 11 a 12 . . . a 1 n a 21 a 22 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ] [ A 11 A 12 . . . A 1 n A 21 A 22 . . . A 2 n . . . . . . . . . . . . A n 1 A n 2 . . . A n n ] AA^*=\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}A_{11}&A_{12}&...&A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&...&A_{2n}\\...&...&...&...\\A_{n1}&A_{n2}&...&A_{nn}\end{matrix}\right] AA∗=⎣⎢⎢⎡a11a21...an1a12a22...an2............a1na2n...ann⎦⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎡A11A21...An1A12A22...An2............A1nA2n...Ann⎦⎥⎥⎤
= [ ∣ A ∣ 0 . . . 0 0 ∣ A ∣ . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . ∣ A ∣ ] = ∣ A ∣ E =\left[\begin{matrix}|A|&0&...&0\\0&|A|&...&0\\...&...&...&...\\0&0&...&|A|\end{matrix}\right]=|A|E =⎣⎢⎢⎡∣A∣0...00∣A∣...0............00...∣A∣⎦⎥⎥⎤=∣A∣E.
[ 注 ] ： [ a 11 a 12 . . . a 1 n ] [ A 21 A 22 . . . A 2 n ] [注]：\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}A_{21}\\A_{22}\\...\\A_{2n}\end{matrix}\right] [注]：[a11a12...a1n]⎣⎢⎢⎡A21A22...A2n⎦⎥⎥⎤
= a 11 A 21 + a 12 A 22 + . . . + a 1 n A 2 n =a_{11}A_{21}+a_{12}A_{22}+...+a_{1n}A_{2n} =a11A21+a12A22+...+a1nA2n
= [ a 11 a 12 . . . a 1 n a 11 a 12 . . . a 1 n . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ] （ 有 两 行 相 同 ， 行 列 式 为 0 ） =\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\a_{11}&a_{12}&...&a_{1n}\\...&...&...&...\\a_{n1}&a_{n2}&...&a_{nn}\end{matrix}\right]（有两行相同，行列式为0） =⎣⎢⎢⎡a11a11...an1a12a12...an2............a1na1n...ann⎦⎥⎥⎤（有两行相同，行列式为0）
于是有 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac1{|A|}A^* A−1=∣A∣1A∗
3.2.3 逆矩阵运算的性质
- ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (kA)^{-1}=\frac1kA^{-1} (kA)−1=k1A−1
- ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1
- ( A T ) − 1 = ( A − 1 ) T (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T (AT)−1=(A−1)T
- ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 |A^{-1}|=|A|^{-1} ∣A−1∣=∣A∣−1
3.2.4 求逆矩阵的方法
- 根据伴随矩阵，若|A|不为0，则 A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac1{|A|}A^* A−1=∣A∣1A∗
- 初等变换：初等行变换 [ A ∣ E ] ⟹ [ E ∣ A − 1 ] [A|E]\Longrightarrow[E|A^{-1}] [A∣E]⟹[E∣A−1]或者初等列变换 [ A E ] ⟹ [ E A − 1 ] \left[\begin{matrix}A\\E\end{matrix}\right]\Longrightarrow\left[\begin{matrix}E\\A^{-1}\end{matrix}\right] [AE]⟹[EA−1]
- A − 1 = ( B C ) − 1 = C − 1 B − 1 A^{-1}=(BC)^{-1}=C^{-1}B^{-1} A−1=(BC)−1=C−1B−1
- [ A O O B ] − 1 = [ A − 1 O O B − 1 ] \left[\begin{matrix}A&O\\O&B\end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{matrix}\right] [AOOB]−1=[A−1OOB−1]， [ O A B O ] − 1 = [ O A − 1 B − 1 O ] \left[\begin{matrix}O&A\\B&O\end{matrix}\right]^{-1}=\left[\begin{matrix}O&A^{-1}\\B^{-1}&O\end{matrix}\right] [OBAO]−1=[OB−1A−1O]
- 特殊地，对于二阶矩阵 A = [ a b c d ] A=\left[\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right] A=[acbd]， A − 1 = 1 a d − b c [ d − b c a ] − 1 （ 主 对 调 ， 副 变 号 ） A^{-1}=\frac1{ad-bc}\left[\begin{matrix}d&-b\\c&a\end{matrix}\right]^{-1}（主对调，副变号） A−1=ad−bc1[dc−ba]−1（主对调，副变号）
e g . A = [ 0 2 − 1 1 1 2 − 1 − 1 − 1 ] 的 逆 矩 阵 。 eg.A=\left[\begin{matrix}0&2&-1\\1&1&2\\-1&-1&-1\end{matrix}\right]的逆矩阵。 eg.A=⎣⎡01−121−1−12−1⎦⎤的逆矩阵。
解 ： [ A ∣ E ] = [ 0 2 − 1 1 0 0 1 1 2 0 1 0 − 1 − 1 − 1 0 0 1 ] → [ 1 0 0 − 1 2 − 3 2 − 5 2 0 1 0 1 2 1 6 1 2 0 0 1 0 1 1 ] 解：[A|E]=\left[\begin{matrix}0&2&-1&1&0&0\\1&1&2&0&1&0\\-1&-1&-1&0&0&1\end{matrix}\right]\rightarrow\left[\begin{matrix}1&0&0&-\frac12&-\frac32&-\frac52\\0&1&0&\frac12&\frac16&\frac12\\0&0&1&0&1&1\end{matrix}\right] 解：[A∣E]=⎣⎡01−121−1−12−1100010001⎦⎤→⎣⎡100010001−21210−23611−25211⎦⎤
（具体变换为1行2行互换，3行加到1行，3行的-2倍加到1行，3行加到2行，2行取半，2行的-1倍加到1行）
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