图论与网络优化
2.概念与计算
2.1 图的定义
图(graph) G G G 是一个有序的三元组，记作 G = < V ( G ) , E ( G ) , ψ ( G ) > G=
V ( G ) V(G) V(G) 是顶点集。 E ( G ) E(G) E(G) 是边集。 ψ ( G ) \psi (G) ψ(G) 是关联函数，；例如 ψ G ( e ) = v i v j \psi_G (e)=v_iv_j ψG(e)=vivj。
N G ( v ) N_G(v) NG(v) 表示点 v v v 的一阶邻域点。
相邻：与同一个顶点关联的两条边是相邻的。
环：两个端点重合的边称为环。
连杆：端点不重合的边成为连杆。
k k k 重边：连接同一对顶点的 k k k 条边。
单边：一对顶点之间只有一条边。
简单图：无环无重边
度：与顶点 v v v 关联的边的数目，记作 d ( v ) d(v) d(v)。
度序列： ( d ( v 1 ) , d ( v 2 ) , . . . , d ( v v ) ) (d(v_1),d(v_2),...,d(v_v)) (d(v1),d(v2),...,d(vv))
孤立点：度为 0 0 0。
悬挂点：度为 1 1 1。
悬挂边：与悬挂点相关联的边。
偶点：度为偶数的顶点。
奇点：度为奇数的顶点。
最小度 δ ( G ) \delta(G) δ(G)：图 G G G 顶点度的最小值。
最大度 Δ ( G ) \Delta(G) Δ(G)：图 G G G 顶点度的最大值。
握手引理： ∑ v ∈ V = 2 ϵ \sum_{v\in V} = 2 \epsilon ∑v∈V=2ϵ。
例题：空间中不存在有奇数个面并且每个面只有奇数个棱的多面体。
思路：将面抽象为点，两面之间的棱为边，则转化成了有奇数个点且每个点都是奇数度的图，与握手引理矛盾，得证。
例题：证明非负整数序列 ( d 1 , d 2 , . . . , d v ) (d_1,d_2,...,d_v) (d1,d2,...,dv) 是某个图的度序列当且仅当 ∑ i = 1 v d i \sum_{i=1}^{v} d_i ∑i=1vdi 是偶数。
思路：先画出 v v v 个孤立点，然后选序列中度大于 1 1 1 的点连环直至将每个点仍需添加的度为 0 0 0 或 1 1 1。然后将两两选择度为 1 1 1 的点。能连通即可得证。
图序列：简单图的度序列。
判断是否为图序列：非负整数序列 ( d 1 , d 2 , . . . , d v ) ( d 1 ≥ d 2 ≥ . . . ≥ d v ) (d_1,d_2,...,d_v)(d_1 \geq d_2 \geq ... \geq d_v) (d1,d2,...,dv)(d1≥d2≥...≥dv) 是图序列当且仅当 ∑ i = 1 v d i \sum_{i=1}^v d_i ∑i=1vdi 是偶数，并且对一切整数 k ( 1 ≤ k ≤ v − 1 k(1\leq k\leq v-1 k(1≤k≤v−1，有 ∑ i = 1 k ≤ k ( k − 1 ) ≤ ∑ i = k + 1 v m i n { k , d i } \sum_{i=1}^{k} \leq k(k-1) \leq \sum_{i=k+1}^{v}min \{k,d_i\} ∑i=1k≤k(k−1)≤∑i=k+1vmin{k,di}.
例题：(1,2,2,4,5);(1,2,3,3,4,5);(1,2,3,4,4,5) 三个是否是图序列？
思路：第一个不是图序列，当点数为 5 5 5 时，不存在度为 5 5 5 的简单图。第二个是图序列。 第三个不是图序列，先画出度为 5 5 5 的点的连边，然后只有三个点还能连边，需要的度依次为 2 , 3 , 3 2,3,3 2,3,3，简单图中的三个点不可能连出度为 3 3 3 的连边情况。
同构：若两个图顶点之间建立一一对应的关系，且任意一对顶点的边数对应相同，则称两图是同构的。
2.2 子图和连通分支
2.2.1 子图
子图：设 H H H 和 G G G 为两个图。若 V ( H ) ⊆ V ( G ) V(H) \subseteq V(G) V(H)⊆V(G) 且 E ( H ) ⊆ E ( G ) E(H) \subseteq E(G) E(H)⊆E(G)，则 H H H 为 G G G 的子图。记作 H ⊆ G H \subseteq G H⊆G。
相等：设 H H H 和 G G G 为两个图。若 V ( H ) = V ( G ) V(H) = V(G) V(H)=V(G) 且 E ( H ) = E ( G ) E(H) = E(G) E(H)=E(G)，则 H H H 为 G G G 相等。记作 H = G H = G H=G。
真子图：若 H ⊆ G H \subseteq G H⊆G 且 H ≠ G H \neq G H=G，则称 H H H 是 G G G 的真子图，记作 H ⊂ G H \subset G H⊂G。
支撑(生成)子图：若 V ( H ) = V ( G ) V(H) = V(G) V(H)=V(G) 且 E ( H ) ⊆ E ( G ) E(H) \subseteq E(G) E(H)⊆E(G)，则称 H H H 是 G G G 的支撑子图或生成子图。
基础简单图：对图 G G G 去除重边和环后的图 H H H。
2.2.2 导出子图
导出子图：设 V ′ V' V′ 是 V ( G ) V(G) V(G) 的非空子集，以 V ′ V' V′ 为顶点集，以 E ′ = u v ∈ E ( G ) ∣ u , v ∈ V ′ E'= {uv \in E(G) | u,v \in V'} E′=uv∈E(G)∣u,v∈V′ 为边集的 G G G 的子图称为 G 的由 V ′ V' V′ 导出的子图，记作 G [ V ′ ] G[V'] G[V′]，简称为 G G G 的导出子图。
2.2.3 连通分支
途径的起点/终点/长度/逆转/衔接/节： W = v o e 1 v 1 e 2 . . . e k v k W=v_oe_1v_1e_2...e_kv_k W=voe1v1e2...ekvk，这里 v i ∈ V ( 0 ≤ i ≤ k ) , e j = v j − 1 v j ∈ E ( 1 ≤ j ≤ k ) v_i\in V(0\leq i \leq k),e_j=v_{j-1}v_j \in E(1 \leq j \leq k) vi∈V(0≤i≤k),ej=vj−1vj∈E(1≤j≤k)， v 0 v_0 v0 称为 W W W 的起点， v k v_k vk 称为 W W W 的终点，之间的 v v v 称为 W W W 的内部点。 W W W 称为 G G G 的 ( v 0 , v k ) (v_0,v_k) (v0,vk) 途径。 k k k 为 W W W 的长度。逆转如字面意思。衔接意味对于两个不同的 W W W，其中一条 W W W 的终点为另一个 W W W 的起点，则两条 W W W 可以衔接。节是 W W W 序列中的子集。
迹：途径 w w w 的边互不相同，则称 W W W 为迹。若起点终点相同，则 W W W 为闭迹。
链：途径 w w w 的顶点互不相同，则称 W W W 为链。一个顶点也称为一条链。
圈：起点、内部点互不相同的闭迹称为圈，长为 k k k 的圈称为 k k k 圈。根据 k k k 的奇偶性，相应地称 k k k 圈为奇圈和偶圈。
连通：若图 G G G 中存在 ( u , v ) (u,v) (u,v) 链，则顶点 u u u 和 v v v 在图 G G G 中是连通的。
连通分支(数)： V V V 的非空划分 ( V 1 , V 2 . . . , V ω ) (V_1,V_2...,V_\omega) (V1,V2...,Vω)，导出子图 G [ V 1 ] , G [ V 2 ] , . . . , G [ V ω ] G[V_1],G[V_2],...,G[V_\omega] G[V1],G[V2],...,G[Vω] 称为 G G G 的连通分支。 ω ( G ) \omega(G) ω(G) 为图 G G G 的连通分支数。