100盏灯开关问题

2020-5-20

首先，在这里先祝愿全天下的单身狗开心快乐每一天

正题：

有100盏灯泡，第一轮点亮所有电灯，第二轮每两盏灯熄灭一盏，即熄灭第2盏，第4盏，以此类推，第三轮改变编号为3的倍数的电灯，第3盏，第6盏，如果原来那盏灯是亮的，就熄灭它，如果原来是灭的，就点亮它，以此类推，直到第100轮。问第100结束后，还有多少盏灯泡是亮的

我们先用最简单的代码模拟下程序的实现：

public class Test {
    public static void main(String []args) {
        byte[] lights = new byte[100];
        
        // 模拟100个人开关灯场景 i 表示人 j 表示灯
        for(int i = 1;i <= 100;i++){
            for(int j = 0;j < 100;j++){
                if((j + 1) % i == 0){
                    if(lights[j] == 0){
                        lights[j] = 1;
                    }else{
                        lights[j] = 0;
                    }
                }   
            }
        }
        // 统计结果
        for(int i = 0;i < 100;i++){
            if(lights[i] == 1){
                System.out.println(i + 1);
            }
        }
    }
}

输出结果：

1
4
9
16
25
36
49
64
81
100

由程序输出可见，最后有10盏灯亮着，灯的编号如上。

不难发现，最后亮着的灯的编号为完全平方数。

我们将问题转换为9盏灯的情况：

首先，九盏灯全灭:

第一个人点亮九盏灯:

第二个人:

... ...
中间过程省略
... ...

第九个人：

通过程序和画图模拟，我们可以得到这样的结论：

1. 如果某一盏灯最后的结果是亮着的，那么它被切换了奇数次，因为初始状态灯为灭，也就可以认为第0次灯为灭的状态。所以对于每一盏灯，当拉动次数为奇数，灯亮；灯拉动次数为偶数，灯灭。

2. 每盏灯拉动的次数与它的编号所含约数的个数有关，比如对于编号为4的灯泡来说，4的约数为：1,2,4;所以编号为4这盏灯就被拉动了三次。对于每盏灯它的编号有几个约数，这盏灯就被拉动几次。

通过上述结论，我们就可以思考下，对于1～100这些数字中，哪些数的约数是奇数个呢？因为约数都是成对出现的，所以约数为奇数个的数字就是完全平方数~

每天进步一丢丢，大家加油~