【泛函分析】 3 赋范线性空间上的有界线性算子

1  有界线性算子

 1.1  定义与性质

设X，Y是（统一数域上）赋范线性空间，为X的线性子空间，

• 线性算子（齐次可加）：
• 有界算子：存在常数M，使得

几个等价命题：

   1.T一致连续；2.T连续；3.T在处连续；4.对任一有界集，是Y中的有界集；

   5.T有界；6.。

 1.2  算子范数、算子空间

  表示X到Y的一切有界线性算子的全体，对，定义

                                                   

则是线性空间。（共轭空间？）

算子范数：

【如果Y是Banach空间，则B(X,Y)也是Banach空间。】

[1]

 1.3 开映射、闭图像、共鸣定理

• open-mapping：设X，Y是Banach空间，为有界线性算子，如果T（X）是Y中的第二纲集，则存在K>0，使得（满射）对于使得且有【则对X中任一开集G，T（G）是Y中开集】
• 闭图像：设X，Y是Banach空间，为闭算子，则T是有界的
• 共鸣（一致有界）：设X是Banach空间，Y是赋范线性空间，为有界线性算子。如果对于，都有，则。

[1]

2  延拓与Hahn-Banach定理

 2.1 延拓

设E是线性空间，分别是定义在E的子空间上的线性泛函，如果满足一下两个条件：

（1）

（2）

则称是在上的延拓。

 2.2  HBT

• 实：设G为实线性空间E的子空间，f是定义在G上的实线性泛函，p是定义在E上的次可加正齐泛函。f与p满足：,则必存在定义在E上的实线性泛函，满足（1）;（2）
• 复：设G为复线性空间E的子空间，f是定义在G上的线性泛函，p是定义在E上的半范。f与p满足：,则必存在定义在E上的实线性泛函，满足（1）;（2）

 2.3  保范延拓

 

• 定理：设E是空间，G是E的线性子空间，是G上的有界线性泛函，则必存在E上的有界线性泛函，满足：（1）;（2）
•  推论：设E是空间，G是E的线性子空间，，若，则存在E上的有界线性泛函f，使（1）；（2）
• 【证明思路】构造f满足以上条件，令，显然其满足，

。下证其满足

。

（1），即。（）

（2）。（）

3  第二共轭空间  自然嵌入映射  自反空间

3.1  第二共轭空间

凸集分离定理

但是如果只满足，结论有什么变化？

在C边界bdC上一点可以建立一个支撑超平面

 

      

参考文献：

[1]Hongxin Zhang 2007-06-21 State Key Lab of CAD&CG, ZJU