数学专业课程《实变函数论》学习总结

我觉得我们学院的老师不是在给我们传授各种数学知识，而是在告诉我们一个道理：你的能量超乎你想象……

何出此言？自打入院以来，别人学“高等数学”，我们学“数学分析”；别人学“线性代数”，我们学“高等代数”，然后，解析几何，常微分方程（英文教学），矩阵计算（又称数值线性代数，双语教学），概率论与数理统计（峁诗松老师的教材，老厚一本），数值分析，等等未完待续吧

我以为我再也学不会《数学分析》了，直到遇到了《实变函数》……

注：下述内容来自一个数学小垃圾的背写和思考，欢迎圈内热心人士指正错误！

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实变函数：以实数为自变量的函数。如此简单的定义，坑害造福了一方学子啊

实变函数论主要是对黎曼积分的拓展，于是有了勒贝格积分。

• 什么是黎曼积分？

如果你学过高数的话，并且（数学）只学过高数的话，那么你所能想到的积分大概全部都是黎曼积分……

• 为什么要引入勒贝格积分？

有些目标要想实现，根据现有的情况，是很难办到的，于是只能“创造条件也要上！”

具体地，像积分符号与极限符号的可交换要想在黎曼积分下实现太难了（条件太高了）；

              扩展可积函数范围：有些函数分明是黎曼不可积的，但是又想让它可积，于是就想办法让它勒贝格可积就行了（粗                                                         略说是这样），比如说迪利克雷函数就是黎曼不可积，但却是勒贝格可积的。

• 学到了什么有意思的？

几乎处处（数学符号是a.e.）：（入大学已经快3年了，身为一个本专业的学生竟然刚知道这么基础的概念）是指除去一                                                       个测度为零的集合；

基本上（数学符号是a.u.）:是指除去一个测度任意小的集合；

这两个看似寻常的口头语，竟然是暗藏玄机啊

               

• 课程内容

统共六个章节，最后一个章节不学。

前四个章节都在介绍基本概念……真的是太多了：从集合学起，之后基数、映射、可数集、可测集、可测函数，其中各种点（聚点、孤立点、外点、内点、界点……），各种集（开集、闭集、导集、闭包……）,这些统统都要会，不然后面听着就晕了。

第四章开始介绍条件，各种转化条件（只有我这么想，其实不是转换，是满足一定条件后就可以更上一步的定理）：

1. 叶果洛夫定理

有界可测集上，叶果洛夫定理能够把一列可测函数的几乎处处收敛转化成基本上一致收敛。

而叶戈洛夫的逆定理恰恰和上述相反：把可测集上基本上一致收敛的一列可测函数转化成几乎处处收敛，值得留心的是这里的可测集的测度可以是无穷大也可是有限值。

2. 卢津定理

简单点说，可测函数基本上连续。注意关键词是“基本上”。

在可测集E上，存在一个闭子集E0，可测函数在这个闭子集上连续，而且E-E0的测度可以达到任意小，但不是0（也就是基          本上）；

卢津定理也有逆定理：基本上连续的函数是可测函数。

3.里斯定理

依测度收敛的函数列存在一个函数子列做到几乎处处收敛。

4.勒贝格定理

可以和里斯定理配套记，因为差不多是把里斯定理倒过来。在测度有界的可测集上，几乎处处收敛的函数列可以做到依测度收敛。

5. 控制收敛定理

这个定理主要是用来判断勒贝格可积、交换积分符号和极限符号。

要点是找到非负可积的控制函数F(x)，且函数列的绝对值<=F(x).

6. 下方图形

为了能够说清楚勒贝格积分的几何意义引入了下方图形这个概念。有意思的是，下方图形，是点集。想想，所有图形不都是点集吗？

下方图形G(E,f)是在可测集E上非负可测函数f下方的点集。

下方图形可测，则函数可积。

7. 富比尼定理

主要用来把重积分化成累次积分。

重积分是同时对两个维度做积分，而累次积分是先对一个维度做积分，再对另一个维度做积分。（我是这么理解的）

为什么要把重积分化成累次积分呢？因为累次积分比较容易计算出来，我想是这样的，重积分其中的两个变量都在变化（所以积分很难）；而累次积分可以先固定一个变量再对另一个变量做积分，然后再对之前固定的那个变量做积分。或许这里等过两天，还会有所补充---从积分路径说起重积分和累次积分的区别。

在黎曼积分下实现重积分化成累次积分的条件是很高的---需要函数连续才行；但是定义在勒贝格积分上的富比尼定理降低了条件，从而使得重积分更容易转化成累次积分。

8. 集合论的小部分内容

为了衡量集合内部元素的多少，有了势（也称基数）的概念。如果两个集合的势相等，那么就称这两个集合等势。在有限集的情况下，不难理解元素的个数--按个数就行了。但是无限集，则需要另当别论。考虑人员入座的例子：要检查一辆公交车上的座位与乘客人数是否刚好，只需要令这些乘客入座即可看出。同样地，抽象到集合上，就是是否能够在这两个集合之间建立一个双射，如果可以则称这两个集合是对等的（也就是等势）。

如果在两个集合之间建立的是单射（）的话，那么只能说明集合M的基数是小于等于集合N的基数的。

基数，（我觉得），像是一个集合类的标志，如果某两个集合的基数是相等的，那么就会在这两个集合之间存在一个双射，也就是这两个集合是对等的。

无限集中有可数集（比如自然数集），不可数集（比如实数集）。可数集的基数规定为阿列夫零a（目测是俄国的某数学家），不可数集的基数是阿列夫c。和有限集相比，无限集有个很明显的特点：无限集可以和它的真子集对等。比如，实数集R和区间(0,1)是对等的，因为存在双射

                                    

这里有个著名的数学小故事"希尔伯特旅馆"：那是一家有着可数间客房的旅馆，一天晚上住满了人（第i个房间里住着编号为gi的顾客），新来的甲也想住进去，于是就对经理说：你让原本住在第1间客房的客人，去住第2间，再让原本第2间客房的客人去住第3间，这样我住第一间就可以了。（甲可能就是想逗逗这位经理吧。。）

• 为什么统计学专业的同学也要学《实变函数论》？

因为我是数学学院的一份子“概率论是概率测度下的实变函数论”。考完试，收拾书才发现序言上还有这句话。确实如此，在《实变函数论》课程期间，准备概率论竞赛，所以温习了一下大二上峁诗松老师的教材《概率论与数理统计》,发现里面有不少公式，用实变函数的思想是很明显的。这也是所谓的“学以致用”了。