06 MIT线性代数-列空间和零空间 Column space & Nullspace

1. Vector space

Vector space requirements v+w and c v are in the space, all combs c v + d w are in the space

但是“子空间”和“子集”的概念有区别,所有元素都在原空间之内就可称之为子集,但是要满足对线性运算封闭的子集才能成为子空间

R^{3}中 2 subspaces

06 MIT线性代数-列空间和零空间 Column space & Nullspace_第1张图片

L: line is a subspace

P: Plane through [0,0,0]T is a subspace of R^{3}

P\cup L = all vectors in P or L or both is not a subspace

P\cap L= all vectors in both P and L is a subspace - null space

2. 列空间 Column space

column space of A is subspace of R^{4}  is C(A)=all linear combs. of columns

06 MIT线性代数-列空间和零空间 Column space & Nullspace_第2张图片

Does Ax=b have a solution for every b? No

cuz 4 equations and 3 unknowns 列向量的线性组合无法充满R^{4}

which b's allow this system to be solved?

Can solve Ax=b exactly when b is in C(A) IN R^{4}

由于列向量不是线性无关的,第三个列向量为前两个列向量之和,所以尽管有3个列向量,但是只有2个对张成向量空间有贡献。矩阵A的列空间为R^{4}内的一个二维子空间

06 MIT线性代数-列空间和零空间 Column space & Nullspace_第3张图片

3.零空间(或化零空间)Nullspace

Null space of A = all solutions x = \begin{vmatrix} x1\\x2 \\x3 \end{vmatrix} in R^{3} to Ax=0

对于所给定这个矩阵A,其列向量含有4个分量,因此列空间是空间R^{4}的子空间。

x为含有3个分量的向量,故矩阵A的零空间是R^{3}的子空间。对于mxn矩阵,列空间为R^{m}的子空间,零空间为R^{n}空间的子空间。

N(A) contains c\begin{vmatrix} 1\\1 \\-1 \end{vmatrix} which is a line in R^{3}

check that - solution to Ax=0 always give a subspace

if Av=0 and Aw = 0 then A(v+w)=0

then A(12v)=0

4. influence of b

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06 MIT线性代数-列空间和零空间 Column space & Nullspace_第5张图片

subspaces have to go through the origin

5. summary: 

2种构筑子空间方法

1.对于列空间,它是由列向量进行线性组合张成的空间

2.零空间是从方程组出发,通过让x满足特定条件而得到的子空间

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