线性规划 | 用实例展示Matlab和lingo求解线性规划问题的差异

一、线性规划

什么是线性规划问题？

线性规划是在一系列的线性条件的约束下，从而规定了可行解，在通过具体的目标函数，求得满足函数的最优解 。
例如平常的线性规划函数的例子：

在matlab中使用matlab标准的格式：

若是目标函数是求解最大值的话，则取-C形式：
例如线性规划：

的MATLAB标准型为：

二、linprog函数

在matlab中，linprog函数可以求解线性规划问题，用于寻找目标函数的最小值。
matlab中，规划模型的标注写法如下：

（1）[x,fval]=linprog(f,A,b)
用于求解：

（2）[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq)
用于求解：

如果没有等式存在，就用[]代替Aeq和beq。

（3）[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
用于求解：

返回的x为所求的结果，fval为最值。
linprog中fval都是求最小值，这个要记住。
A和b是不等式约束条件的参数。
Aeq和beq是等式约束条件的参数。
lb和ub为x取值的取值范围。

例如：
a+b+c<30
c<15
b<10
函数：max f = 10a+20b+30c
因为linprog求的是最小值，我们将原式改为：
f = -(10a+20b+30c)
这样我们有了函数f=[-10;-20;-30];，然后：
根据约束条件不等式，有：
A = [1 1 1;
0 0 1;
0 1 0] ;
b = [30;15;10] ;
但这样算出来的结果大家会发现是小数，也可能是负数。
因此我们加入a、b、c取值的上下限：
lb = [0 0 0]
ub = [30 30 30]
如果在计算中需要得到小数的结果，只要写成0.00或者30.00就可以了，最后带入函数计算就可以了。

三、intlinprog函数

intlinprog()是matlab中用于求解混合整数线性规划(Mixed-integer linear programming)的一个函数，用法基本和linprog差不多。
语法：

x=intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

与linprog相比，多了参数intcon,代表了整数决策变量所在的位置。
例如：

四、Lingo软件

LINGO是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。
所有代码在 Lingo Model - Lingo 1中编写，写完后点击工具条上的红色的靶子运行。

例如：

代码：

max=x1+x2;
x1+9/14*x2<=51/14;
-2*x1+x2<=1/3;
@gin(x1);@gin(x2);
end

LINGO提供了大量的标准数学函数
@abs(x) 返回x 的绝对值
@sqrt() 开方
@sin(x) 返回x 的正弦值，x 采用弧度制
@cos(x) 返回x 的余弦值
@tan(x) 返回x 的正切值
@exp(x) 返回常数e 的x 次方
@log(x) 返回x 的自然对数
@lgm(x) 返回x 的gamma 函数的自然对数
@sign(x) 如果x<0 返回-1；否则，返回1
@floor(x) 返回x的整数部分。当x>=0 时，返回不超过x 的最大整数；当x<0
时，返回不低于x 的最大整数。
@smax(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn 中的最大值
@smin(x1,x2,…,xn) 返回x1，x2，…，xn 中的最小值

变量界定函数
变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共4种
@bin(x) 限制x 为0 或1 — 用于0-1规划
@bnd(L,x,U) 限制L≤x≤U
@free(x) 取消对变量x 的默认下界为0 的限制，即x 可以取任意实数
@gin(x) 限制x 为整数
在默认情况下，LINGO 规定变量是非负的，也就是说下界为0，上界为+∞。@free 取消
了默认的下界为0的限制，使变量也可以取负值。@bnd用于设定一个变量的上下界,它也可 以取消默认下界为0的约束。
注意：
LINGO总是根据“MAX=”或“MIN=”寻找目标函数；
程序语句的顺序一般不重要，既可以随意调换；
程序运用函数时都是以@开头；
程序中的变量默认为非负数，想要改变变量类型必须有相应函数调整
程序中变量不区分大小写；
语句必须以分号结尾；
注释以!开始，且注释语句后面必须也有分号，注释默认注释到第一个分号处，意思是分号前面会全部被注释掉。

五、实例

根据外场改装合同要求，改装备件需于每季度末分别提供10、15、25、30。已知该专业厂各季度末的生产能力及每套产品的成本构成，如果专业厂生产出的备件当季不能交付，每套积压一季度需存储、维护等的费用0.15万元，建立一个数学模型，要求在完成合同的情况下，使该全年生产（包括存储、维护）费用最小。

解：
设x_ij为第i季度生产的用于第j季度交货产品的数量，则由题意得：
x_11=10
x_12+x_22=15
x_13+x_23+x_33=25
x_14+x_24+x_34+x_44=30

又由生产能力的要求，有
x_44<=10
x_33+x_34<=30
x_22+x_23+x_24<=35
x_11+x_12+x_13+x_14<=25

再设c_ij表示第i季度生产的用于第j季度交货的每台产品的实际成本，其值如下表：

目标函数为：
min f = 10.8 * x11 + 10.95 * x12 + 11.10 * x13 + 11.25*x14 + 11.10 * x22 + 11.25 * x23 + 11.40 * x24 + 11 * x33 + 11.15 * x34 + 11.30 * x44;

MATLAB求解：

上式中，Aeq为左边的矩阵，beq为等号右边的向量；

上式中，A为左边的矩阵，b为等号右边的向量；

% 线性规划问题
% 目标函数：
% minF = 10.8 * x11 + 10.95 * x12 + 11.10 * x13 + 11.25 + x14 + ...
%    11.10 * x22 + 11.25 * x23 + 11.40 * x24 + ...
%    11 * x33 + 11.15 * x34 + ...
%    11.30 * x44;

minfun = [10.8 ,10.95 , 11.10 , 11.25 ,11.10 ,11.25,11.40 ,11,11.15,11.30]';
Aeq = zeros(10);
Aeq(1,1) = 1;
Aeq(2,2) = 1;  Aeq(2,5) = 1;
Aeq(3,3) = 1;  Aeq(3,6) = 1;  Aeq(3,8) = 1;
Aeq(4,4) = 1;  Aeq(4,7) = 1;  Aeq(4,9) = 1;  Aeq(4,10) = 1;
beq = [10,15,25,30,0,0,0,0,0,0]';
A = zeros(10);
A(1,1) = 1; A(1,2) = 1; A(1,3) = 1; A(1,4) = 1;
A(2,5) = 1; A(2,6) = 1; A(2,7) = 1;
A(3,8) = 1; A(3,9) = 1;
A(4,10) = 1;
b = [25,35,30,10,0,0,0,0,0,0]';
[x,y]=intlinprog(minfun,1:10,A,b,Aeq,beq,zeros(10,1)',[]); 
disp('x的值为：');  x
disp('最小值为：');  y

运行结果：
x的值为：

10
 0
15
 0
15
 0
 0
10
20
10

最小值为：

887

Lingo求解：

min=10.8 * x11 + 10.95 * x12 + 11.10 * x13 + 11.25*x14 + 11.10 * x22 + 11.25 * x23 + 11.40 * x24 + 11 * x33 + 11.15 * x34 + 11.30 * x44;
x11=10;
x12+x22=15;
x13+x23+x33=25;
x14+x24+x34+x44=30;
x11+x12+x13+x14<=25;
x22+x23+x24<=35;
x33+x34<=30;
x44<=10;
end

运行结果：

最小值为：887

由此可见，MATLAB和lingo所求的最优解一致，但是每个变量值x并不一样，说明规划有多组解。
不足之处，请多指教！