线性代数笔记【矩阵】
矩阵基础
矩阵是一个矩形排列的数表
最早人们为了解决方程组求解问题发明了矩阵
矩阵
由m x n个数aij(i、j都是从1到m、n的整数)排成的m行n列的数表
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎠⎟⎟⎟⎞
称为m x n矩阵
通常使用黑体大写英文字母表示矩阵，上式可简记为A=[aij]mxn或Amxn
矩阵可以用方括号或圆括号表示
矩阵中的数aij称为矩阵的元，其中i表示行，j表示列
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
nxn矩阵与一般称为n阶矩阵或方阵。方阵中从左上角到右下角的连线称为主对角线；从右上角到左下角的连线称为副对角线。位于主对角线上的元素称为矩阵的对角元，对角元上元素i=j
零矩阵：所有元素都为0的矩阵，记为O，用Omxn代表mxn的零矩阵
三角形矩阵：如下所示三种矩阵分别称为对角矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵。三角形矩阵中对角线上下方全为0的部分可以省略不写
( a 11 0 ⋯ 0 0 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n n ) \begin{pmatrix} a_{11}&0&\cdots&0\\ 0&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎛a110⋮00a22⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮ann⎠⎟⎟⎟⎞
( a 11 a 12 ⋯ a 1 n 0 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ a n n ) \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ 0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎛a110⋮0a12a22⋮0⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎠⎟⎟⎟⎞
( a 11 0 ⋯ 0 a 21 a 22 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ) \begin{pmatrix} a_{11}&0&\cdots&0\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮an10a22⋮an2⋯⋯⋱⋯00⋮ann⎠⎟⎟⎟⎞
对角矩阵也可以记为diag(a11,…,ann)
单位矩阵：对角元都为1的对角矩阵，用E或I表示，可以用**En或In**指明单位矩阵的阶数
同型矩阵：若矩阵A和B的行数相同、列数相等，则称两矩阵为同型矩阵
若矩阵A和B为同型矩阵且它们对应的元素都相等，则称两矩阵相等，记作A=B
元素都是实数的矩阵叫实矩阵；元素是复数的矩阵叫复矩阵
所有mxn的实矩阵的集合记为Rmxn
1x1的矩阵一般写成一个数
矩阵的线性运算
矩阵的加减法和数乘组成了矩阵的线性运算
线性包括齐次性和可加性，矩阵的三种运算方法就是对这两个性质的反映
矩阵的加减法就是对应元素相加减，数乘就是将每一个元素都乘同一个数
矩阵的线性运算符合
- 交换律
- 结合律
- 分配律
- 消去律
矩阵与方程组
含有m个一次方程，n个未知数的方程组称为m x n型线性方程组，简称m x n型方程组
一般形式为
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ \left \{ \begi…
可将其分为未知数、系数、常数三个部分，表示为矩阵形式Ax=b
其中
A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮amn⎠⎟⎟⎟⎞
x = ( x 1 x 2 ⋮ x n ) x=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} x=⎝⎜⎜⎜⎛x1x2⋮xn⎠⎟⎟⎟⎞
b = ( b 1 b 2 ⋮ b m ) b=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix} b=⎝⎜⎜⎜⎛b1b2⋮bm⎠⎟⎟⎟⎞
对应未知数组成的矩阵、系数矩阵、常量矩阵
三个矩阵合在一起可以形成方程组的增广矩阵；当b=0时，得到方程组为齐次线性方程组；否则称为非齐次线性方程组
上述方程的增广矩阵为
[ A , b ] = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n b 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n b m ) [A,b]=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_1\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_m \end{pmatrix} [A,b]=⎝⎜⎜⎜⎛a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amnb1b2⋮bm⎠⎟⎟⎟⎞
可以使用矩阵乘法将方程组的系数矩阵和方程组中的未知数矩阵的转置重新组合为方程组
矩阵乘法
首先设想一个方程组
KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ \left \{ \begi…
忽略右边的bn，可以通过向量点积 a ⃗ ⋅ b ⃗ = x 1 x 2 + y 1 y 2 \vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2 a⋅b=x1x2+y1y2联想到每个式子都能对应上两个n维向量的点积 m ⃗ ⋅ n ⃗ = x 1 x 2 + y 1 y 2 + ⋯ + m 1 m 2 + n 1 n 2 \vec{m}\cdot\vec{n}=x_1x_2+y_1y_2+\cdots+m_1m_2+n_1n_2 m⋅n=x1x2+y1y2+⋯+m1m2+n1n2
则可以使用1xn的矩阵来表示n维向量这样就能使用两个矩阵的“点积”表示整个方程组
如下所示
$$
\begin{pmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_n
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{pmatrix}
这 样 的 表 述 并 不 规 范 ， 于 是 我 们 使 用 矩 阵 乘 法 和 转 置 来 表 示 这 个 方 程 组 这样的表述并不规范，于是我们使用矩阵乘法和转置来表示这个方程组 这样的表述并不规范，于是我们使用矩阵乘法和转置来表示这个方程组
{\begin{pmatrix}
x_1&x_2&\cdots&x_n
\end{pmatrix}}^T
\begin{pmatrix}
a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\
a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\
a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}
\end{pmatrix}
$$
矩阵乘法：矩阵A=[aij]mxk和B=[bij]kxn的乘积是一个m x n矩阵C=[cij]mxn。其中 c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i k b k j = ∑ l = 1 k a i l b l j c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\cdots+a_{ik}b_{kj}=\sum_{l=1}^k a_{il}b_{lj} cij=ai1b1j+ai2b2j+⋯+aikbkj=∑l=1kailblj，记作AB=C
矩阵乘法运算需要满足以下条件
- A的行数等于B的列数
- 乘积C的行数等于A的行数，C的列数等于B的列数
- 乘积C的(i,j)元等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积之和
矩阵的乘法不能调换顺序
更具体的，矩阵乘法满足以下规则：
-
与数字之间的结合律
-
与矩阵之间的结合律
-
分配律
不满足交换律
单位矩阵与任意矩阵的的乘积都等于它本身
可以根据矩阵乘法定义矩阵的幂运算，特别地， ( A B ) k ≠ A k B k (AB)^k \neq A^k B^k (AB)k=AkBk，但 A k A l = A k + l A^k A^l=A^{k+l} AkAl=Ak+l且 ( A k ) l = A k l (A^k)^l=A^{kl} (Ak)l=Akl
特殊规律
- 两个同阶上三角形/下三角形矩阵的乘积仍为上三角形/下三角形矩阵
- 两个同阶对角矩阵的乘积仍为对角矩阵
- 两个同阶对角矩阵相乘时只需将对角元相乘
矩阵转置
转置：把m x n矩阵A的行和列的位置互换得到的n x m矩阵叫做A的转置矩阵，记作AT或A’
矩阵的转置符合以下规律
- 相反律
- 分配律
- 结合律
特别地，矩阵转置有以下特点
( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^T A^T (AB)T=BTAT
( A k ) T = ( A T ) k (A^k)^T=(A^T)^k (Ak)T=(AT)k
( A ! A 2 ⋯ A k ) T = A T k ⋯ A 2 T A 1 T (A_!A_2 \cdots A_k)^T=A^k_T \cdots A^T_2 A^T_1 (A!A2⋯Ak)T=ATk⋯A2TA1T
对称矩阵与反称矩阵
对称矩阵：设 A = [ a i × j ] n × n A=[a_{i \times j}]_{n \times n} A=[ai×j]n×n，若 A T = A A^T=A AT=A，则称A为对称矩阵
反称矩阵：若 A T = − A A^T=-A AT=−A，则称A为反称矩阵
对称矩阵中关于主对角线对称的元素相等；反称矩阵中对角元都为0，且关于主对角线对称的元素互为相反数
有特性：若A、B是同阶对称矩阵，可知 A B 是 对 称 矩 阵 ⇔ A B = B A AB是对称矩阵 \Leftrightarrow AB=BA AB是对称矩阵⇔AB=BA
A m × n A n × m T A_{m \times n}A_{n \times m}^T Am×nAn×mT为（m阶）方阵且为对称矩阵
A n × m T A m × n A_{n \times m}^TA_{m \times n} An×mTAm×n为（n阶）方阵且为对称矩阵
- A是对称矩阵，则 A k A^k Ak也是对称矩阵
- A是反对称矩阵，则k为偶数时 A k A^k Ak是对称矩阵；k为奇数时 A k A^k Ak是反对称矩阵
特殊结论
A和B分别是n阶对称矩阵和反称矩阵，P是n阶方阵，有以下结论：
- P T A P P^TAP PTAP是对称矩阵
- P T B P P^TBP PTBP是反称矩阵
- A B 是 反 称 矩 阵 ⇔ A B = B A AB是反称矩阵\Leftrightarrow AB=BA AB是反称矩阵⇔AB=BA
- AB-BA和AB+BA分别是对称矩阵和反称矩阵
A为n阶方阵，则 A + A T A+A^T A+AT为对称矩阵， A − A T A-A^T A−AT是反称矩阵
同理，任意n阶方阵可以表示成一个对称矩阵和一个反称矩阵的和