数学分析笔记16：重积分

定义在矩体上的积分

积分的定义与性质

为了引入重积分，我们可以先从重积分的物理背景及几何背景说起。我们时常要求一个空间物体的质量或者一个曲顶柱体的体积。对一个曲顶柱体

对于底面是$R^2$的一个区域$D$，顶面是曲面$z=f(x,y)$的曲顶柱体，如何求其体积呢？如果底面$D$是一个矩形区域，我们可以把矩形通过“划分”网格的方式划分为若干小曲顶柱体，分别求解其体积，高选定为区域内某一点$(\xi ,\zeta )$的函数值$f(\xi ,\zeta )$，估计其体积为$f(\xi ,\zeta )S(\Delta D)$，再把这些加总起来，当划分的每一个小矩形的最大直径都趋于0时，若存在一个极限，那么这个极限是曲顶柱体的体积。
但是，假如$D$不是一个矩形区域，该如何求解呢？我们当然的是将$D$划分为若干小区域$\Delta D_1,\cdots ,\Delta D_n$，逐个击破，每个小曲顶柱体的体积就应当是$f({\xi }_k,{\zeta }_k)S(\Delta D_k)(k=1,\cdots ,n)$，可是问题在于，$S(\Delta D_k)$该如何求解呢？为了解决这个问题，我们要引入Jordan测度。我们知道，对于平面的矩形$$D=\{(x,y):a_1\le x\le b_1,a_2\le y\le b_2\}$$其面积应当是$S(D)=(b_1-a_1)(b_2-a_2)$。空间矩体$$D=\{(x,y):a_i\le x\le b_i,1\le i\le 3\}$$其体积应当是$V(D)=(b_1-a_1)(b_2-a_2)(b_3-a_3)$。我们定义$R^n$上的矩体为$\prod _{i=1}^n[a_i,b_i]$，其体积应当为$V=\prod _{i=1}^n(b_i-a_i)$，若考虑两个向量$a=(a_1,\cdots ,a_n)$和$b=(b_1,\cdots ,b_n)$，后者的每一个分量都大于前者对应的分量，此时称$a\le b$，则矩体$\prod _{i=1}^n[a_i,b_i]$也可以记为$[a,b]$，这就如同定积分的区间一样。所有矩体的体积都是已经规定好的。容易证明，这样规定的体积有有限可加性（具体证明的过程省略）：矩体$I=\bigcup _{k=1}^n{I}_k$，其中$I_i^{\circ }\cap I_j^{\circ }=\varnothing (i\ne j)$，则$|I|=\sum _{k=1}^n|I_k|$。
我们以此为起点，先定义函数在矩体上的积分，对于任意的点集$E$，我们找一个矩体$I$，满足$E\subset I$，定义$I$上的函数$$I_E(x)=\{\begin{array}{ll}1& x\in E\\ 0& x\notin E\end{array}$$则按照几何意义，${\int }_I{I}_E(x)dx$就应当是$E$的体积。那么这就涉及一个可积与否的问题，假如这个函数可积，我们就称$E$是Jordan可测的，这个积分是$E$的体积，否则$E$是Jordan不可测的。为了方便讨论，我们定义两点$x=(x_1,x_2,\cdots ,x_n),y=(y_1,\cdots ,y_n)$之间的距离是$$d(x,y)=\underset{1\le i\le n}{\max }|x_i-y_i|$$这样做的好处是，某点$x$的邻域$B(x,r)$是一个以$x$为中心，边长为$2r$的矩体。接下来，我们该如何定义这种积分呢？自然地，我们想将$R^n$上的矩体区域$I$，分成若干个两两无公共内点的小矩体区域$\Delta :I_1,\cdots ,I_n$，同时$\bigcup _{k=1}^n{I}_k=I$。$f(x)$是定义$I$上的$n$元函数，选择${\xi }_k\in I_k(k=1,\cdots ,n)$，作黎曼和$$S(\Delta ,f,\xi )=\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)|I_k|$$这个公式里$|I_k|$表示$I_k$的体积，今后也是同样的记号。当最大直径$\lambda (\Delta )=\underset{1\le k\le n}{\max }d(I_k)\to 0$时，不论$\xi$如何选择，都趋于同一实数$I$，就称为$f(x)$在$I$上的积分。这和定积分的定义形式是类似的，只不过是从划分区间改成了划分矩体罢了。下面给出矩体上的积分的正式定义：

定义16.1（矩体上的积分） $I$是$R^n$上的矩体区域，$f(x)$是定义在$I$上的函数，如果存在实数$V$，对任意的$\epsilon >0$，都存在$\delta >0$，使得对$I$的任意分划$\Delta :I_1,\cdots ,I_n$，其中$I_1,\cdots ,I_n$两两无公共内点，且$\bigcup _{k=1}^n{I}_k=I$，只要$\lambda (\Delta )=\underset{1\le k\le n}{\max }d(I_k)<\delta$，不论选择何种${\xi }_k\in I_k(k=1,\cdots ,n)$，其黎曼和$S(\Delta ,f,\xi )=\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)|I_k|$都满足$$|S(\Delta ,f,\xi )-V|<\epsilon$$则称$f(x)$在$I$上可积，$V$为$f(x)$在$I$上的积分，记为$I={\int }_{I}f(x)dx$

下面我们来证明矩体上的积分的一些性质：

定理16.1（有界性） $f(x)$在$I$上可积，则$f(x)$是$I$上的有界函数

证：反证法，若$f(x)$在$I$上可积但无界，则设$V={\int }_{I}f(x)dx$，则对任何的分划$\Delta ：I_1,\cdots ,I_n$，$I=\bigcup _{k=1}^n{I}_k$，且$I_1,\cdots ,I_k$两两无公共内点，存在某个小矩体，$f(x)$在其上无界，不妨设$f(x)$就在$I_1$上无界，取定${\xi }_k\in I_k(k=2,\cdots ,n)$，存在${\xi }_1\in I_1$，使得$$|f({\xi }_1)|>\frac{|V|}{|I|}+\frac{1}{|I_1|}(1+\left|\sum _{k=2}^n(f({\xi }_2)-\frac{V}{|I|})|I_k|\right|)$$则$$|f({\xi }_1)-\frac{V}{|I|}||I_1|\ge |I_1|(|f({\xi }_1)|-\frac{|V|}{|I|})>1+\left|\sum _{k=2}^n(f({\xi }_2)-\frac{V}{|I|})|I_k|\right|$$$$\left|\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)|I_k|-V\right|\ge |f({\xi }_1)-\frac{V}{|I|}||I_1|-\left|\sum _{k=2}^n(f({\xi }_2)-\frac{V}{|I|})|I_k|\right|>1$$也就是说，无论何种分划，都存在一种取法，使得$|S-V|>1$，与$V={\int }_{I}f(x)dx$矛盾，矛盾产生的原因是假设了$f(x)$在$I$上无界，因此，$f(x)$在$I$上有界

定理16.2（线性性质） $f(x)$和$g(x)$都是$R^n$上的矩体$I$上的可积函数，则对任意的实数$\alpha ,\beta$，$\alpha f(x)+\beta g(x)$在$I$上可积，并且$${\int }_I[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha {\int }_{I}f(x)dx+\beta {\int }_{I}g(x)dx$$

证：设${\int }_{I}f(x)dx=A$，${\int }_{I}g(x)dx=B$，对任意的$\epsilon >0$，存在${\delta }_1>0,{\delta }_2>0$，对$I$的任意分划$\Delta$，只要$\lambda (\Delta )<{\delta }_1$时，对任意的标志点$\xi$，黎曼和满足$$\left|S(f,\Delta ,\xi )-A\right|<\frac{\epsilon }{2}$$只要$\lambda (\Delta )<{\delta }_1$，对任意的标志点$\xi$，黎曼和满足$$\left|S(g,\Delta ,\xi )-B\right|<\frac{\epsilon }{2}$$当$\lambda (\Delta )<\min ({\delta }_1,{\delta }_2)$时，对任意的标志点$\xi$，则有$$\begin{array}{rl}& \left|S(f+g,\Delta ,\xi )-(A+B)\right|\\ =& \left|S(f,\Delta ,\xi )+S(g,\Delta ,\xi )-(A+B)\right|\\ \le & |S(f,\Delta ,\xi )-A|+|S(g,\Delta ,\xi )-B|<\epsilon \end{array}$$另一方面，对任意的实数$\alpha \ne 0$，对任意的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$，对任意的$I$的分划$\Delta$，只要$\lambda (\Delta )<\delta$，对任意的标志点$\xi$，都有$$\left|S(f,\Delta ,\xi )-A\right|<\frac{\epsilon }{|\alpha |}$$则$$\left|S(\alpha f,\Delta ,\xi )-\alpha A\right|=|\alpha |\left|S(f,\Delta ,\xi )-A\right|<\epsilon$$综上，可积函数空间是一个线性空间，积分是其上的线性变换，这就证明了这个定理

定理16.3（不等式性质） $f(x)$和$g(x)$都是$R^n$上的矩体$I$上的可积函数，并且$f(x)\le g(x),\forall x\in I$，有${\int }_{I}f(x)dx\le {\int }_{I}g(x)dx$

证：
对任意的黎曼和$S(f,\Delta ,\xi )$，都有$S(f,\Delta ,\xi )\le S(g,\Delta ,\xi )$，两边令$\lambda (\Delta )\to 0$，即可证得结论

定理16.4（绝对值性质） $f(x)$是$R^n$上的矩体$I$上的可积函数，则$|f(x)|$是$R^n$上的矩体$I$上的可积函数，同时$$\left|{\int }_{I}f(x)dx\right|\le {\int }_I|f(x)|dx$$

证：可积性在下一节证明，下面证明以上的不等式，对任意的黎曼和$S(f,\Delta ,\xi )=\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)|I_k|$，有$$\left|\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k)|I_k|\right|\le \sum _{k=1}^n|f({\xi }_k)||I_k|$$两边令$\lambda (\Delta )\to 0$即可证得结论

定理16.5（区间可加性） $f(x)$是$R^n$上的矩体$I$上的可积函数，矩体$I_0\subset I$，则$f(x)$是$I_0$上的可积函数，并且，若$\Delta :I_1,\cdots ,I_n$是$I$的一个分划，则$${\int }_{I}f(x)dx=\sum _{k=1}^n{\int }_{I_k}f(x)dx$$

证：可积性后面证明，这里仅证上面的不等式，令${\int }_{I_k}f(x)dx=A_k$，对任意的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$，使得对$k=1,\cdots ,n$，对任意的$I_k$的分划${\Delta }_k$，只要$\lambda ({\Delta }_k)<\delta$，对任意的标志点${\xi }^{(k)}$，都有$\left|S(f,{\Delta }_k,{\xi }_k)-A_k\right|<\frac{\epsilon }{n}$，将这些分划合并为$I$的分划$\Delta$，此时$|S(f,\Delta ,\xi )-\sum _{k=1}^n{A}_k|\le \sum _{k=1}^n|S(f,{\Delta }_k,{\xi }_k)-A_k|<\epsilon$，这就证明了${\int }_{I}f(x)dx=\sum _{k=1}^n{A}_k$

可积性理论

为了解决Jordan可测集和不可测集的定义问题，我们要研究矩体上的函数何时可积。同样地，我们的策略是平行于定积分可积性的理论将重积分可积性理论搭建起来。我们模仿定积分的可积性理论，给出三个引理，首先对于矩体$I$上的有界函数$f(x)$，给定一个分划$\Delta ：I_1,\cdots ,I_n$，$I=\bigcup _{k=1}^n{I}_k$，且$I_1,\cdots ,I_k$两两无公共内点，定义对应的达布上和以及达布下和为$\overline{S}(f,\Delta )=\sum _{k=1}^n{M}_k|I_k|,\underline{S}(f,\Delta )=\sum _{k=1}^n{m}_k|I_k|$，其中，$m_k,M_k$为$f(x)$在$I_k$上的下确界和上确界$(k=1,\cdots ,n)$

引理16.1 $\overline{S}(f,\Delta ),\underline{S}(f,\Delta )$为$f(x)$在$\Delta$上一切黎曼和的上确界和下确界

对于矩体$I$，给定两个分划$\Delta ,{\Delta }^{\prime }$，如果对任意的$I_k\in {\Delta }^{\prime }$，存在$I_j^{\prime }\in \Delta$，满足$I_k\subset I_j^{\prime }$，则称${\Delta }^{\prime }$是$\Delta$的加细，记为${\Delta }^{\prime }\le \Delta$

引理16.2 对于矩体$I$，给定两个分划$\Delta ,{\Delta }^{\prime }$，$f$是$I$上的一个有界函数，并且${\Delta }^{\prime }\le \Delta$，则$$\underline{S}(f,\Delta )\le \underline{S}(f,{\Delta }^{\prime })\le \overline{S}(f,{\Delta }^{\prime })\le \overline{S}(f,\Delta )$$

引理16.3 对于矩体$I$，给定两个分划$\Delta ,{\Delta }^{\prime }$，$f$是$I$上的一个有界函数，都有$$\underline{S}(f,\Delta )\le \overline{S}(f,{\Delta }^{\prime })$$

这三个引理的证明和定积分完全类似，这里省略具体的证明过程，利用上面三个引理，我们可以得出两个结论，给定矩体$I$及其上的有界函数$f(x)$，所有黎曼上和有下确界，我们记为${\overline{\int }}_{I}f(x)dx$，称为$f(x)$在$I$上的上积分，所有的黎曼下和有上确界，记为${\underline{\int }}_{I}f(x)dx$，称为$f(x)$在$I$上的下积分。接下来，我们给出可积的第一个充要条件：

定理16.6（可积的充要条件1） 给定矩体$I$及其上的有界函数$f(x)$，可积的充要条件是$$\underset{\lambda (\Delta )\to 0}{\lim }[\overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )]=0$$

证：充分性，如果$\underset{\lambda (\Delta )\to 0}{\lim }[\overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )]=0$，由于$$\overline{S}(f,\Delta )\ge {\overline{\int }}_{I}f(x)dx\ge {\underline{\int }}_{I}f(x)dx\ge \underline{S}(f,\Delta )$$对任意的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$，当$\lambda (\Delta )<\delta$时，$[\overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )]<\epsilon$，则${\overline{\int }}_{I}f(x)dx-{\underline{\int }}_{I}f(x)dx\le [\overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )]<\epsilon$，由$\epsilon$的任意性，就有${\overline{\int }}_{I}f(x)dx={\underline{\int }}_{I}f(x)dx$，令${\overline{\int }}_{I}f(x)dx={\underline{\int }}_{I}f(x)dx=A$，则$$\overline{S}(f,\Delta )\ge A\ge \underline{S}(f,\Delta )$$任意的黎曼和也满足$$\overline{S}(f,\Delta )\ge S(f,\Delta ,\xi )\ge \underline{S}(f,\Delta )$$则当$\lambda (\Delta )<\delta$时$$|S(f,\Delta ,\xi )-A|\le \overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )<\epsilon$$按积分的定义，就有${\int }_{I}f(x)dx=A$
必要性，如果$f(x)$在$I$上可积，设${\int }_{I}f(x)dx=A$，对任意的$\epsilon >0$，存在$\delta >0$，对任意的$I$的分划$\Delta$，对任意的标志点$\xi$，都有$$A-\epsilon <S(f,\Delta ,\xi )<A+\epsilon$$由引理16.1，就有$$A-\epsilon \le \underline{S}(f,\Delta )\le \overline{S}(f,\Delta )\le A+\epsilon$$此时$$\overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )<2\epsilon$$即$\underset{\lambda (\Delta )\to 0}{\lim }[\overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )]=0$

也就是振幅和极限为0是可积的充要条件，在重积分的情形下同样可以证明达布定理

定理16.7（达布定理） 给定矩体$I$及其上的有界函数$f(x)$，则有$$\begin{gathered} \underset{\lambda (\Delta )\to 0}{\lim }\overline{S}(f,\Delta )={\overline{\int }}_{I}f(x)dx \\ \underset{\lambda (\Delta )\to 0}{\lim }\underline{S}(f,\Delta )={\underline{\int }}_{I}f(x)dx \end{gathered}$$

证：仅证明$\underset{\lambda (\Delta )\to 0}{\lim }\overline{S}(f,\Delta )={\overline{\int }}_{I}f(x)dx$，$\underset{\lambda (\Delta )\to 0}{\lim }\underline{S}(f,\Delta )={\underline{\int }}_{I}f(x)dx$的证明是类似的。
首先，我们要说明的是，对于$R^n$的一个矩体$I=\prod _{k=1}^n[a_k,b_k]$，作小开矩体$I^{\prime }=\prod _{k=1}^n(a_k+\delta ,b_k-\delta )$，两者的体积差为$V(I^{\prime })-V(I)$在$\delta \to 0$时趋于0，实际上$$\begin{array}{rl}V(I^{\prime })-V(I)=& \prod _{k=1}^n(b_k-a_k)-\prod _{k=1}^n(b_k-a_k-2\delta )\\ =& c_1\delta +c_2{\delta }^2+\cdots +c_n{\delta }^n\end{array}$$是关于$\delta$的多项式且常数项为0，对于某个特定的分划$\Delta :I_1,\cdots ,I_m$，对任意的$\epsilon >0$，设$I_k={\prod }_{i=1}^n[a_i^{(k)},b_i^{(k)}]$，作开矩体$I_k^{\prime }(\delta )={\prod }_{i=1}^n(a_i^{(k)}+\delta ,b_i^{(k)}-\delta )$，存在${\delta }_0>0$，当$\delta <{\delta }_0$时，$\sum _{k=1}^{m}V(I_k)-\sum _{k=1}^{m}V(I_k^{\prime }(\delta ))<\epsilon$。对于另一个分划${\Delta }^{\prime }$，只要$\lambda ({\Delta }^{\prime })<{\delta }_0$，则其和$\Delta$某个小矩体边界相交的小矩体之并全部包含在$\bigcup _{k=1}^n{I}_k/\bigcup _{k=1}^n{I}_k^{\prime }({\delta }_0)$内，从而这些小矩体的体积之和小于$\epsilon$。下面我们来证明达布定理。
由上积分的定义，对任意的$\epsilon >0$，存在分划${\Delta }_0$，使得$${\overline{\int }}_{I}f(x)dx-\frac{\epsilon }{2}<\overline{S}(f,{\Delta }_0)\le {\overline{\int }}_{I}f(x)dx$$设$|f(x)|\le M>0,\forall x\in I$，对${\Delta }_0$，存在${\delta }_0>0$，对任意分划$\Delta$，只要$\lambda (\Delta )<{\delta }_0$，则$\Delta$与${\Delta }_0$小矩形边界相交的小矩体的体积和小于$\frac{\epsilon }{4M}$，此时，令${\Delta }_0^{\prime }$是$\Delta$和${\Delta }_0$的合并，则$\overline{S}(f,\Delta )$和$\overline{S}(f,{\Delta }_0^{\prime })$有差异的项是那些与${\Delta }_0$小矩形边界相交的小矩体，而哪些含在${\Delta }_0$某个小矩形内部的小矩体对应的项是没有差异的，此时$$|\overline{S}(f,\Delta )-\overline{S}(f,{\Delta }_0^{\prime })|<2M\frac{\epsilon }{4M}=\frac{\epsilon }{2}$$则$$\begin{array}{rl}& |\overline{S}(f,\Delta )-{\overline{\int }}_{I}f(x)dx|\\ \le & |\overline{S}(f,\Delta )-\overline{S}(f,{\Delta }_0^{\prime })|+|\overline{S}(f,{\Delta }_0^{\prime })-{\overline{\int }}_{I}f(x)dx|\\ <& \epsilon \end{array}$$这就证明了$\underset{\lambda (\Delta )\to 0}{\lim }\overline{S}(f,\Delta )={\overline{\int }}_{I}f(x)dx$

这样，就可以得到可积的第二个充要条件

定理16.8（可积的充要条件2） 给定矩体$I$及其上的有界函数$f(x)$，可积的充要条件是$${\overline{\int }}_{I}f(x)dx={\underline{\int }}_{I}f(x)dx$$

定理16.9（可积的充要条件3） 给定矩体$I$及其上的有界函数$f(x)$，可积的充要条件是对任意的$\epsilon >0$，存在分划$\Delta$，满足$\overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )<\epsilon$

证：
充分性，若对任意的$\epsilon >0$，存在分划$\Delta$，满足$\overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )<\epsilon$，由于$$\underline{S}(f,\Delta )\le \underline{\int }f(x)dx\le \overline{\int }f(x)dx\le \overline{S}(f,\Delta )$$则$$\overline{\int }f(x)dx-\underline{\int }f(x)dx\le \overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )<\epsilon$$由$\epsilon$的任意性，上下积分相等，因此$f(x)$在$I$上可积
必要性，若$f(x)$在$I$上可积，则上下积分相等，由上下积分的定义，对任意的$\epsilon >0$，存在分划${\Delta }_1$，满足$$\left|\overline{S}(f,{\Delta }_1)-{\int }_{I}f(x)dx\right|<\frac{\epsilon }{2}$$存在分划${\Delta }_2$，满足$$\left|\underline{S}(f,{\Delta }_1)-{\int }_{I}f(x)dx\right|<\frac{\epsilon }{2}$$作${\Delta }_1,{\Delta }_2$的合并分划${\Delta }_0$，${\Delta }_0$即满足条件。

定理16.11（可积的充要条件4） 有界函数$f(x)$在矩体$I$上可积的充要条件是$\forall \epsilon >0$，$\forall \delta >0$，存在分划$\Delta$，$\Delta$中振幅大于$\delta$的小矩体体积和小于$\epsilon$

证：
充分性，如果$\forall \epsilon >0$，$\forall \delta >0$，存在分划$\Delta$，$\Delta$中振幅大于$\delta$的小矩体体积和小于$\epsilon$。则设$|f(x)|\le M(\forall x\in I)$，$\forall \epsilon >0$，令${\delta }_0=\frac{\epsilon }{2|I|}$，令${\epsilon }_0=\frac{\epsilon }{4M}$，则存在分划${\Delta }_{\epsilon }$，满足${\Delta }_{ϵ}$中振幅大于${\delta }_0$的小矩体的体积和小于${\epsilon }_0$。将${\Delta }_{\epsilon }$中的小矩体分为两类，一类是振幅大于${\delta }_0$的小矩体，全体记为${\Delta }_1$，另一类是振幅不超过${\delta }_0$的小矩体，全体记为${\Delta }_2$，则$$\begin{array}{rl}& \overline{S}(f,{\Delta }_{\epsilon })-\underline{S}(f,{\Delta }_{\epsilon })=\sum _{I_k\in {\Delta }_1}\omega (I_k)|I_k|+\sum _{I_k\in {\Delta }_2}\omega (I_k)|I_k|\\ \le & 2M\sum _{I_k\in {\Delta }_1}|I_k|+{\delta }_0\sum _{I_k\in {\Delta }_2}|I_k|<2M{\epsilon }_0+{\delta }_0|I|=\epsilon \end{array}$$因此$f(x)$在$I$上可积。
必要性，如果$f(x)$在$I$上可积，如果$\exists {\epsilon }_0>0$，$\exists {\delta }_0>0$，对任意分划$\Delta$，其振幅大于${\delta }_0$的小矩体的体积和大于${\epsilon }_0$，则对任意的分划$\Delta$，将${\Delta }_{\epsilon }$中的小矩体分为两类，一类是振幅大于${\delta }_0$的小矩体，全体记为${\Delta }_1$，另一类是振幅不超过${\delta }_0$的小矩体，全体记为${\Delta }_2$，于是$$\begin{array}{rl}& \overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )=\sum _{I_k\in {\Delta }_1}\omega (I_k)|I_k|+\sum _{I_k\in {\Delta }_2}\omega (I_k)|I_k|\\ \ge & \sum _{I_k\in {\Delta }_1}\omega (I_k)|I_k|>{\delta }_0\sum _{I_k\in {\Delta }_1}|I_k|\ge {\delta }_0{\epsilon }_0>0\end{array}$$与$f(x)$可积矛盾，因此，$\forall \epsilon >0$，$\forall \delta >0$，存在分划$\Delta$，$\Delta$中振幅大于$\delta$的小矩体体积和小于$\epsilon$

例16.1 $f(x)$在$I$上可积，则$|f(x)|$在$I$上可积

证：对任意的点集$D$，对任意的$x_1,x_2\in D$，则$$|f(x_1)-f(x_2)|\ge ||f(x_1)|-|f(x_2)||$$则$$\begin{array}{rl}\omega (f,D)=& \underset{x_1,x_2\in D}{\sup }|f(x_1)-f(x_2)|\\ \ge & \omega (|f|,D)=\underset{x_1,x_2\in D}{\sup }||f(x_1)|-|f(x_2)||\end{array}$$因此，对任意的$I$的分划$\Delta :I_1,\cdots ,I_n$，则$$\sum _{k=1}^n\omega (f,I_k)|I_k|\ge \sum _{k=1}^n\omega (|f|,I_k)|I_k|$$由于$f(x)$在$I$上可积，对任意的$\epsilon >0$，存在分划$\Delta$，有$$\sum _{k=1}^n\omega (f,I_k)|I_k|<\epsilon$$因此$$\sum _{k=1}^n\omega (|f|,I_k)|I_k|<\epsilon$$因此$|f(x)|$可积

例16.2 $f(x)$在$I$上可积，矩体$I^{\prime }\subset I$，则$f(x)$在$I^{\prime }$上可积

证：由于$f(x)$在$I$上可积，对任意的$\epsilon >0$，存在分划$\Delta :I_1,\cdots ,I_n$，使得$$\overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )<\epsilon$$取分划${\Delta }^{\prime }$，是$\Delta$的加细，并且包含$I^{\prime }\cap I_1,I^{\prime }\cap I_2,\cdots ,I^{\prime }\cap I_n$，这也是$I^{\prime }$的一个分划，记为${\Delta }_0$，由于${\Delta }^{\prime }$是$\Delta$的加细，则$\overline{S}(f,{\Delta }^{\prime })-\underline{S}(f,{\Delta }^{\prime })\le \overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )<\epsilon$，而$\overline{S}(f,{\Delta }_0)-\underline{S}(f,{\Delta }_0)$只是$\overline{S}(f,{\Delta }^{\prime })-\underline{S}(f,{\Delta }^{\prime })$的部分项，因此$\overline{S}(f,{\Delta }_0)-\underline{S}(f,{\Delta }_0)<\epsilon$，因此$f(x)$在$I^{\prime }$上可积。

例16.3 $f(x)$在$I$上可积，$I\subset I_0$，$I_0$也是矩体，则令$$\overline{f}(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& x\in I\\ 0& x\notin I\end{array}$$则$\overline{f}$在$I_0$上可积，并且$${\int }_{I}f(x)dx={\int }_{I_0}f(x)dx$$

证：由于$f(x)$在$I$上可积，对任意的$\epsilon >0$，存在$I$的分划$\Delta$，$\overline{S}(f,\Delta )-\underline{S}(f,\Delta )<\frac{\epsilon }{2}$，设$|f(x)|\le M(\forall x\in I)$，将$I$的分划$\Delta$扩充为$I_0$的分划${\Delta }_0$，使得${\Delta }_0$中与$I$的边界相交的小矩体的体积和小于$\frac{\epsilon }{4M}$，将${\Delta }_0$的小矩体分为三类，第一类为原来$\Delta$的小矩体，即$\Delta$，第二类为不在$\Delta$内，但与$I$的边界交非空的小矩体，全体记为${\Delta }_1$，其余的小矩体记为${\Delta }_2$，因此$$\begin{array}{rl}& \overline{S}(f,{\Delta }_0)-\underline{S}(f,{\Delta }_0)\\ =& \sum _{I_k\in \Delta }\omega (I_k)|I_k|+\sum _{I_k\in {\Delta }_1}\omega (I_k)|I_k|\\ <& \frac{\epsilon }{2}+2M\sum _{I_k\in {\Delta }_1}|I_k|<\epsilon \end{array}$$因此$f(x)$在$I_0$上可积，令${\int }_{I}f(x)dx=A$，对任意$\epsilon >0$，存在$\delta >0$，对任意$I$的分划$\Delta$，对任意的标志点$\xi$，则$$|S(f,\Delta ,\xi )-A|<\epsilon$$将$\Delta$扩充为$I_0$的分划${\Delta }_0$，其模不超过$\Delta$的模，在取点上，若为$\Delta$的分划，则取原来的点，其他的分划取点均取$I$外的点，此时黎曼和满足$$|S(f,{\Delta }_0,\xi )-A|<\epsilon$$也就是说存在$I_0$的一个分划列，其模趋于0，黎曼和趋于$A$，故$${\int }_{I_0}f(x)dx=A$$

这说明了积分和所选择的矩体是无关的，在下一节，我们将更明确这一点的意义。

例16.4 $f(x),g(x)$都在$I$上可积，则$f(x)g(x)$也在$I$上可积

证：设$|f(x)|\le M_1>0,|g(x)|\le M_2>0(\forall x\in I)$，对任意的$x_1,x_2\in I$，有
$$\begin{array}{rl}& |f(x_1)g(x_1)-f(x_2)g(x_2)|\\ =& |f(x_1)g(x_1)-f(x_1)g(x_2)+f(x_1)g(x_2)-f(x_2)g(x_2)|\\ \le & |f(x_1)||g(x_1)-g(x_2)|+|g(x_2)||f(x_1)-f(x_2)|\\ \le & M_1|g(x_1)-g(x_2)|+M_2|g(x_2)||f(x_1)-f(x_2)|\end{array}$$因此，对任意的小矩体$I_k$，有 ω ( f