李雅普诺夫(第二方法)稳定性分析+例题

目录

  • 1. 背景和思路
  • 2. 李雅普诺夫第二方法
  • 3. 李雅普诺夫稳定性分析
  • 4. 例题
  • 5. 参考文献

1. 背景和思路

系统稳定:系统储存的总能量持续地减小,直至耗尽,系统状态就会趋于平衡态
稳定性考察:考察一个正值的能量函数 V ( x ) V(x) V(x)和它的变化率 V ˙ ( x ) \dot{V} (x) V˙(x)来判断。若 V ˙ ( x ) \dot{V} (x) V˙(x)始终为负,则系统稳定。
困难:对于一般的动态系统,并不是总能明确地定义一个能量函数
解决方案:用一个正定的标量函数作为系统的广义能量函数
这个标量函数是什么:运用李雅普诺夫第二方法判断系统稳定性时,常常采用二次型的标量函数。所谓二次型函数,是指形如
V ( x ) = x T P x V(x)=x^TPx V(x)=xTPx
的函数,这里P是实对称矩阵。设
李雅普诺夫(第二方法)稳定性分析+例题_第1张图片
则V的正定性可以用西尔维斯特(Sylvester) 准则来判断:
(1)二次型正定:即P矩阵正定:顺序主子式都大于0
(2)二次型(或P)负定:充要:P的主子式满足:
在这里插入图片描述
注:
要求正定,则说明V是正值能量函数,要求二次型,则符合能量特征。

2. 李雅普诺夫第二方法

取非线性定常系统状态方程为:
x ˙ ( t ) = F ( x ( t ) ) \dot{x}(t)=F(x(t)) x˙(t)=F(x(t))
系统平衡状态为: x e = 0 x_e=0 xe=0
定理1:
(寻找李雅普诺夫函数,使得系统渐近稳定)
(1)对于具有连续一阶偏导数的标量函数V(x),如果V(x)正定,V(x)的导数负定,则系统平衡状态是渐近稳定的,这样的V(x)就是系统的一个李雅普诺夫函数。
(2)如果在(1)成立的情况下,V(x)还满足径向无界条件:
在这里插入图片描述
那么平衡状态在整个状态空间中是大范围渐近稳定的。(意义见后面例题)
问题:在定理1中,如果V的导数是半负定的,一般只能确定系统平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的,但不能确定其渐近稳定性。
解决方案:加一个限制条件,见定理2。
定理2:
(没找到满足定理1的李雅普诺夫函数,但是找到了自身正定、导数半负定的V,也想实现渐近稳定性)
如果V在系统状态方程的任一非零解的状态运动轨迹上不恒为0,那么系统的平衡状态也是渐近稳定的(#跟减函数相似)。如果V径向无界,那么系统是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫(第二方法)稳定性分析+例题_第2张图片
定理3:
(判断系统的不稳定性)
如果找到了有连续一阶偏导数的标量函数V,满足V正定,V的导数也正定,那么系统平衡状态是不稳定的。

3. 李雅普诺夫稳定性分析

对于只有唯一平衡状态的线性定常系统,平衡状态的大范围稳定性与系统的稳定性是一回事,因此就不加区分了。下面将分别介绍用李雅普诺夫第二方法(下称李二法)来分析线性定常连续时间系统和线性定常离散时间系统的稳定性。
(1)线性定常连续时间系统
状态方程:
x ˙ ( t ) = A x ( t ) \dot{x}(t)=Ax(t) x˙(t)=Ax(t)
系统唯一平衡态: x e = 0 x_e=0 xe=0
李函数变化率:
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
为了使系统渐近稳定,Q应该正定。
问题:有时候P选得不好,Q既不是正定的也不是负定的,就不能用李二法判断系统稳定性了。
解决方案:实际用李二法的时候,一般先确定一个正定的Q,然后求解下面的李方程:
A T P + P A = − Q A^TP+PA=-Q ATP+PA=Q
再找到正定的P。只要系统是渐近稳定的,那么这个李方程就一定存在正定解。也就是说,已知系统渐近稳定,那么一定存在李函数。这和前面用李函数判断渐近稳定性刚好反过来。这也就有了定理4。
定理4:
线性定常连续时间系统渐近稳定的充要条件:对任意给定的正定矩阵Q,存在正定矩阵P为李方程的解。
因为Q是任意的,所以一般来说,Q取单位阵,最简单了。
(2)线性定常离散时间系统
系统状态方程: x ( k + 1 ) = A x ( k ) x(k+1)=Ax(k) x(k+1)=Ax(k)
系统唯一平衡态: x e = 0 x_e=0 xe=0
李函数: V ( x ) − = − x T P x V(x)-=-x^TPx V(x)=xTPx
因为是离散时间系统,所以用V(x(k+1))-V(x(k))作为变化率:
李雅普诺夫(第二方法)稳定性分析+例题_第3张图片
同样设: Q = − ( A T P A − P ) Q=-(A^TPA-P) Q=(ATPAP)
为了让系统渐近稳定,Q应该是正定的。和连续时间系统一样,一般也是先确定Q,然后求解李方程:
A T P A − P = − Q A^TPA-P=-Q ATPAP=Q
找到正定的P。同样,有定理5:
定理5:
线性定常离散时间系统渐近稳定的充要条件:对任意给定的正定矩阵Q,存在正定矩阵P,成为李方程的解。
同样,一般取Q为单位阵。

4. 例题

1. 判断非线性定常系统稳定性:
在这里插入图片描述
首先这是二维系统。P是自己选的,要找一个2*2的矩阵。
先确定稳态:两个x的导数都为0,解出来是x1=x2=0,所以稳态是[0,0]’。
P取为I2,得到李雅普诺夫函数:
在这里插入图片描述
只要选正定的P,那么V(x)就是正定的,要验证的只是它的导数的负定性:
在这里插入图片描述
计算的时候代入x1和x2的导数的表达式就可以。这里a>0,V的导数是负定的。所以平衡状态是渐近稳定的。
另外,当||x||无穷的时候,V也无穷,所以系统在整个状态空间中是大范围渐近稳定的。
大范围渐近稳定的意义:
李雅普诺夫(第二方法)稳定性分析+例题_第4张图片
2. 判断非线性定常系统稳定性:
在这里插入图片描述
平衡状态:[0,0]’。
选择P=I2,李雅普诺夫函数:
在这里插入图片描述
导数:
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只有在x2=0和x2=-1两条直线上,导数为0,所以V的导数是半负定的。
李雅普诺夫(第二方法)稳定性分析+例题_第6张图片
3. 判断线性定常系统稳定性:
在这里插入图片描述
平衡状态:[0,0]’
李雅普诺夫函数:
在这里插入图片描述
变化率:
在这里插入图片描述
所以平衡状态是不稳定的。
4. 判断线性定常系统稳定性:
在这里插入图片描述
唯一平衡状态:原点。
取Q为单位阵,则李方程为:
在这里插入图片描述
整理成方程组:
在这里插入图片描述
因为P是对称的,所以
在这里插入图片描述
从而:
李雅普诺夫(第二方法)稳定性分析+例题_第7张图片
利用西尔韦斯特准则,可以得到:
李雅普诺夫(第二方法)稳定性分析+例题_第8张图片
所以P是正定的。所以系统是渐近稳定的。
但这里的Q是指定的,按理说要对任意给定的Q都存在P作为方程的解才行啊,不应该用一般的形式来证明吗?不需要,因为既然找到了合适的P,使得V正定,V的变化率负定,那么系统已经是渐近稳定的了。
5. 求线性定常离散时间系统的稳定性条件:
在这里插入图片描述
取Q为单位阵,解李方程:
在这里插入图片描述
写成方程组:
在这里插入图片描述
考虑P的对称性,解得:
李雅普诺夫(第二方法)稳定性分析+例题_第9张图片
要让P正定,必须满足:
李雅普诺夫(第二方法)稳定性分析+例题_第10张图片
解不等式得到:
在这里插入图片描述
这就是线性定常离散时间系统渐近稳定的充要条件了。这和用离散时间系统稳定性代数判据得到的结论是一样的。

5. 参考文献

[1] 田玉平,蒋珉,李世华.自动控制原理[M].北京:科学出版社,2006

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