差分约束 学习笔记

差分约束

差分约束就是：给你 n 个变量，m 个未知数，形成这样几组的不等式：$x_i$ - $y_j$ <= $c_k$;
然后让你求出一组解，使得所有约束条件都满足；

怎么解呢？可以把上面的式子变形一下：$x_i$ <= $y_j$ + $c_k$;

这是不是和图论最短路的式子非常相似呢？

所以可以连接 $y_i$ 到 $x_i$ 的一条单向边，权值为$c_k$ ，然后求单源最短路即可，但是还要保证图的连通，所以可以加个超级源点，用 0 连接每个点，建立一条权值为 0 的边；

还有一种情况就是无解情况，什么时候会无解呢？

就是出现负环的情况，所以还要判断是否有负环，那么dij肯定是不可以了，spfa就成了最好的选择；

扩展：

如果是求 $x_i$<=0 的最大解，那么 $y_i$ 到 $x_i$ 连边，跑最短路；

如果是求 $x_i$>0 的最小解，那么 $x_i$ 到 $y_i$ 连边，跑最长路，这个和普通的最长路还不太一样，具体看代码；

模板题：洛谷·P5960 【模板】差分约束算法

第一种代码：

#include
#define LL long long
#define pa pair
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=200100;
const int M=50100;
const int mod=1e9;
int n,m;
struct Node{
	int to,nex,w;
}edge[N*2];
int head[N],cnt,dis[N],vis[N],sum[N];
void add(int p,int q,int w){
	edge[cnt].w=w,edge[cnt].to=q,edge[cnt].nex=head[p],head[p]=cnt++;
}
bool spfa(){
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=2e9;
	queue<int>qu;qu.push(0);
	while(!qu.empty()){
		int p=qu.front();qu.pop();
		vis[p]=0;sum[p]++;
		if(sum[p]>=n) return false;
		for(int i=head[p];~i;i=edge[i].nex){
			int q=edge[i].to;
			if(dis[q]>dis[p]+edge[i].w){//最短路
				dis[q]=dis[p]+edge[i].w;
				if(!vis[q]) qu.push(q),vis[q]=1;
			}
		}
	}
	return true;
}
int main(){
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) add(0,i,0);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		add(b,a,c);
	}
	if(!spfa()) printf("NO\n");
	else for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]);
	return 0;
}

第二种代码：

#include
#define LL long long
#define pa pair
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=200100;
const int M=50100;
const int mod=1e9;
int n,m;
struct Node{
	int to,nex,w;
}edge[N*2];
int head[N],cnt,dis[N],vis[N],sum[N];
void add(int p,int q,int w){
	edge[cnt].w=w,edge[cnt].to=q,edge[cnt].nex=head[p],head[p]=cnt++;
}
bool spfa(){
	for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=-1;
	queue<int>qu;qu.push(0);
	while(!qu.empty()){
		int p=qu.front();qu.pop();
		vis[p]=0;sum[p]++;
		if(sum[p]>=n) return false;
		for(int i=head[p];~i;i=edge[i].nex){
			int q=edge[i].to;
			if(dis[q]<dis[p]+edge[i].w){//最长路 
				dis[q]=dis[p]+edge[i].w;
				if(!vis[q]) qu.push(q),vis[q]=1;
			}
		}
	}
	return true;
}
int main(){
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) add(0,i,0);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		add(a,b,-c);
	}
	if(!spfa()) printf("NO\n");
	else for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]);
	return 0;
}