组合数学$4 递推关系与生成函数

C4 递推关系与生成函数

S0 斐波那契数列

1）递推公式：$f_{n+2}=f_{n+1}+f_n,f_0=0,f_1=1$

2）通项公式：$f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}[(\frac{1+\sqrt{5}}{2}{)}^n-(\frac{1-\sqrt{5}}{2}{)}^n]$

3）与二项式系数关系：$f_n=\sum _{k=0}^{n-1}{C}_{n-1-k}^k$，即 Pascal 三角形从左下到右上每条线的和

4）部分和：$S_n=f_{n+2}-1$

S1 生成函数

1）生成函数：$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k{x}^k$

• $S_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$ 的生成函数：$\frac{f(x)}{1-x}$

• $k$ 元无限多重集 $n$ 组合（$\sum _{i=1}^k{c}_i{x}_i=n$ 的非整数解）个数：$g(x)=\prod _{i=1}^k\frac{1}{1-x^{c_i}}$

  解题时有时可化简，如 $(1+x_1+x_1^2+\cdots +x_1^n)=(1-x_1^{n+1})/(1-x_1)$

• $\{1,\cdots ,n\}$ 的逆序数为 $t$ 的排列：$g(x)=\frac{\prod _{k=1}^n(1-x^k)}{(1-x{)}^n}$

2）指数生成函数：$g_e(x)=\sum _{k=0}^{\infty }\frac{a_k{x}^k}{k!}$

• $k$ 元无限多重集 $n$ 排列：$g_e(x)=\prod _{i=1}^k{f}_i(x),f_i(x)=\sum _{j=0}^{\infty }\frac{x^{c_{i}j}}{(c_{i}j)!}$

S2 递推关系

1）线性递推：$h_n=a_1{h}_{n-1}+a_2{h}_{n-2}+\cdots +a_k{h}_{n-k}+a_0$

• $a_k\ne 0$， $a_i=f(n)$

2）常系数齐次线性递推：

• 齐次递推：$a_0=0$
• 常系数递推：$a_i\in \mathbb{R}$
• 求解：
  • 特征方程法：
    1. 特征方程为：$x^k=a_1{x}^{k-1}+\cdots +a_k$
    2. 求 $k$ 个根 $q_1,\cdots ,q_k$，重数为 $s_1,\cdots ,s_k$
    3. 解为 $\sum _{i=1}^k\sum _{j=0}^{s_i-1}{c}_{ij}{n}^j{q_i}^n$
  • 生成函数法：由 $(1-\sum _{i=1}^k{a}_i{x}^i)g(x)=C$ 求得

    • 适用条件：$(1-\sum _{i=1}^k{a}_i{x}^i)g(x)=g(x)q(x)=p(x)$ 而 $p(x)$ 是多项式

    • 原理：$f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$，$p,q$ 为多项式，则其唯一确定一个数列

      $p(x)=d_0+d_{1}x+\cdots +d_{k-1}{x}^{k-1}$

      $q(x)=b_0+b_{1}x+\cdots +b_k{x}^k$

      得 $d_0+d_{1}x+\cdots +d_{k-1}{x}^{k-1}=(b_0+b_{1}x+\cdots +b_k{x}^k)\ast \sum _{k=0}^{\infty }{h}_k{x}^k$

      可得 $h_n+\frac{b_1}{b_0}{h}_{n-1}+\cdots +\frac{b_k}{b_0}{h}_{n-k}=0$

    • 与特征方程关系：$x^{k}r(\frac{1}{x})=q(x)$，即 $q(x)$ 的根是 $r(x)$ 的根的倒数

3）常系数非齐次线性递推关系

• 常规解法：
  1. 求对应齐次解
  2. 求一非齐次解（时域经典法）
     • 若 $b_n$ 是 $n$ 的 $k$ 次多项式，设 $h_n$ 为 $k$ 次多项式
     • 若 $b_n$ 是指数函数 $r^n$，
       • 若 $r$ 不是特征根，设 $h_n=c{r}^n$
       • 若 $r$ 是 $k$ 重特征根，设 $h_n=r^n\sum _{i=0}^k{c}_i{n}^i$
     • 若 $b_n=p(n)r^n$， $r$ 是 $m$ 重根， $p(n)$ 是 $p$ 次多项式，特解为 $r^n[c_0{n}^m+\cdots +c_p{n}^{m+p}]$
  3. 通解 = 特解 + 齐次解
• 生成函数法
• 观察 + 数学归纳法

4）非线性递推：

• 将 $n+1$ 多边形完全分割为多个三角形的分法：$h_n=\sum _{k=1}^{n-1}{h}_n{h}_{n-k}=\frac{1}{n}{C}_{2n-2}^{n-1}(n\ge 2),h_1=h_2=1$
• 即卡特兰数
• 对应生成函数 $g(x{)}^2=g(x)-x$