空间坐标乘旋转矩阵_坐标变换(4)—旋转矩阵

1. 群

群(Group)是一种集合加上一种运算的代数结构。我们把集合记作

，运算记作

， 那么群可以记作

。群要求这个运算满足以下几个条件：封闭性:

.

结合律:

.

幺元:

逆:

2. special orthogonal group

定义参考坐标系(fix frame)为

，定义body frame为

，

在fixed frame

下经过一定的旋转，对应的旋转矩阵为

，

坐标系

的三个坐标轴，即基，

，同时

，满足以下条件，单位向量

2. 正交

，即

上面两个性质可以写成矩阵的形势，

此外，坐标系

的三个坐标轴还需要遵守右手坐标系，例如

，其中

表示叉乘。 在线性代数上有如下的一个公式，当我们知道一个

矩阵

的三列为

时，我们可以求得矩阵的行列式值为，

所以，我们可以得到，

至此，我们推导出了旋转矩阵满足的两个条件。在数学上，将满足上述两个条件的

的矩阵统称为special orthogonal group

，即3维的特殊正交群，容易验证

符合群的封结幺逆的性质，此外对于任意的3维列向量

，

和

具有相同的长度(2范数)。

3. 旋转矩阵的使用描述一个坐标系

改变向量或者坐标系的参考坐标系

旋转一个坐标系或者向量

3.1 描述坐标系

在第一种情况下，旋转矩阵的三列分别对应坐标系的三个坐标轴，即基，

考虑以上三个坐标系，其对应的描述为，

而空间中的同一点

，在三个坐标系中的描述分别为，

3.2 改变参考坐标系

假设旋转矩阵

，描述了

相对于

的旋转，

描述了

相对于

的旋转，则

为

相对于

的旋转，

向量

在

坐标系的向量为

，则在

坐标系下

为，

3.3 旋转一个坐标系或者向量

在坐标系

下旋转一个向量

(同一坐标系下)，会产生另外一个向量

，

而对一个坐标系乘以一个旋转矩阵，则有不同的意义，分为左乘和右乘，下面分别介绍，其中参考坐标系为

，body frame为

，

绕

轴转90度生成

，

表示

在

下的描述，而

仅表示某一旋转矩阵(绕着

转30度),下面借助matlab来进行可视化，

3.3.1 左乘

R_sb = rotz(90)

R = rotx(30)

R_1 = R * R_sb

tranimate(R_1)

R_sb =

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

R =

1.0000 0 0

0 0.8660 -0.5000

0 0.5000 0.8660

R_1 =

0 -1.0000 0

0.8660 0 -0.5000

0.5000 0 0.8660

最终结果，

由上面两图可以看到，

左乘

，是顺着原来

中的

轴旋转了30度。因此左乘，

是在

坐标系下的描述。

3.3.2 右乘

R_sb = rotz(90)

R = rotx(30)

R_1 = R_sb * R

tranimate(R_1)

R_sb =

0 -1 0

1 0 0

0 0 1

R =

1.0000 0 0

0 0.8660 -0.5000

0 0.5000 0.8660

R_1 =

0 -0.8660 0.5000

1.0000 0 0

0 0.5000 0.8660

最终结果，

由上面两图可以看到，

右乘

，是顺着

中的

轴旋转了30度。右乘，

是在

坐标系下描述。 其实关于左乘和右乘，在前面的文章中介绍过旋转矩阵的列向量是

在

中的描述，右乘相当于，

此时，矩阵的乘积的每一列都是

所对应基的线性组合，所以

此时的意义肯定是在

坐标系下描述。 同理，前面文章提到过，旋转矩阵的行向量是

在

中的描述，此时

是参考坐标系，

此时，矩阵的乘积的每一行都是

所对应基的线性组合，所以

此时的意义肯定是在

坐标系下描述。