欧拉角,轴角,四元数与旋转矩阵详解

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目录

一、欧拉角

1、静态定义

2、欧拉角的表示

 3、欧拉角表示的优缺点

 4、欧拉角的万向节死锁(静态不存在万向锁的问题)

二、四元数

1、提出意义和定义 (含轴角)

2、四元数的相关计算法则

3、四元数的极形式

4、四元数的使用举例

5、四元数的优缺点

三、四元数和欧拉角间的相互转化

1、四元数转为欧拉角

2、欧拉角转为四元数

四、旋转矩阵


一、欧拉角

1、静态定义

对于在三维空间里的一个参考系,任何坐标系的取向,都可以用三个欧拉角来表现。

参考系又称为实验室参考系,是静止不动的。

坐标系则固定于刚体,随着刚体的旋转而旋转。

来一个经典的示例:

设定xyz-轴为参考系的参考轴(即下图蓝色部分)。称xy-平面与XY-平面的相交为交点线,用英文字母(N)代表。zxz顺规的欧拉角可以静态地这样定义:

α 是 x-轴与交点线的夹角,
β 是z-轴与Z-轴的夹角,
γ 是交点线与X-轴的夹角。

欧拉角,轴角,四元数与旋转矩阵详解_第1张图片

 但是对于夹角的顺序和标记,夹角的两个轴的指定,并没有任何常规规定。所以每当用到欧拉角时,我们必须明确表示出夹角的顺序,指定其参考轴

2、欧拉角的表示

首先绕z轴转动α角(如左图),然后是绕X’轴转动β角(如中间的图),最后是绕Z’轴转动γ角(如右图),这是zxz顺规(先绕z轴,再绕x轴再绕z‘轴)的欧拉角表示方法。(除了zxz顺规外还有其他的规定方法,如xyx,zyz。这里不做详述)

欧拉角,轴角,四元数与旋转矩阵详解_第2张图片欧拉角,轴角,四元数与旋转矩阵详解_第3张图片欧拉角,轴角,四元数与旋转矩阵详解_第4张图片

 欧拉角包括3个旋转,根据这3个旋转来指定一个刚体的朝向。这3个旋转分别绕x轴,y轴和z轴,分别称为 Pitch,Yaw 和 Roll。

 欧拉角,轴角,四元数与旋转矩阵详解_第5张图片

 3、欧拉角表示的优缺点

优点:

(1)欧拉角由三个角度组成,直观,容易理解。

(2)可以进行从一个方向到另一个方向旋转大于180度的角度。

缺点:

(1)欧拉角是不可传递的,旋转的顺序影响旋转的结果,不同的应用又可能使用不同的旋转顺序,旋转顺序无法统一;

(2)3个旋转的角度可以不受限制,即取值范围是(-inf,inf);

(3)可能造成万向节死锁

 4、欧拉角的万向节死锁(静态不存在万向锁的问题)

 对于动态欧拉角(绕物体坐标系旋转),无论绕第一,三个轴转动的旋转角为多少度,只要绕第二个轴的旋转角为±90°,就会出现万向锁现象。

万向锁现象:一旦选择±90°作为pitch角,就会导致第一次旋转和第三次旋转等价,整个旋转表示系统被限制在只能绕竖直轴旋转,丢失了一个表示维度。

来个例子:

比如说我们先绕z轴转任意角度,得到下图对吧

欧拉角,轴角,四元数与旋转矩阵详解_第6张图片

然后咱们再绕y轴转90度,得到下图(此时Z’轴在蓝色的x-y平面上)

欧拉角,轴角,四元数与旋转矩阵详解_第7张图片

 然后无论我们如何绕X‘轴转动,Z’轴始终在蓝色的x-y平面上,就像是被锁住了一样。

 万向锁的避免问题:限制旋转的角度范围——绕第一个轴转动的旋转角限制在±180°间;绕第二个轴限制范围在±90°间。


二、四元数

1、提出意义和定义 (含轴角)

提出意义:上述欧拉角是多次旋转后才能得到,那么为什么不一步到位,只旋转一次呢?那么四元数应运而生。

定义:

对于一个物体的旋转,我们只需要知道四个值:一个旋转的向量 + 一个旋转的角度。而四元数也正是这样的设计:

q = (x,y,z,w)

其中x,y,z 代表的是向量的三维坐标,w代表的是角度

其实,四元数本质上是一个超复数:

q=x i+y j+z k+w, i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1 ,i*j = k\\

轴角

\quad q=\left[\begin{array}{ll} \vec{v} & w \end{array}\right]=([x,y,z]^{T},\theta)  ——这种一个轴向量(单位向量)加一个绕转角度的表示方式是轴角表示方法。

轴角最大的一个局限就是不能进行简单的插值;

此外,轴角形式的旋转不能直接施于点或矢量,必转换为矩阵或者四元数。

2、四元数的相关计算法则

(1)加法

q1+q2 = [\overrightarrow{v1}+\overrightarrow{v2},w1+w2]

(2)乘法

p_{1} p_{2}=\left(\overrightarrow{v_{1}} \times \overrightarrow{v_{2}}+\omega_{1} * \overrightarrow{v_{2}}+\omega_{2} * \overrightarrow{v_{1}}, \quad \omega_{1} \omega_{2}-\overrightarrow{v_{1}} \cdot \overrightarrow{v_{2}}\right)

单位四元数——为了表示方便,常规定:

x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}=1

此时复数乘法可以表示为:

 也可以表示为矩阵形式

欧拉角,轴角,四元数与旋转矩阵详解_第8张图片

(3)共轭 ——  (-\overrightarrow{v1},w1)

3、四元数的极形式

q=\|q\|[\vec{n} \cdot \sin \theta, \cos \theta]

其中 ||q|| 代表了四元数的模,单位四元数模为1,而θ是四元数表示的旋转过程的半角大小,也就是说2θ就是旋转角大小,n则是表示旋转轴方向的单位向量。

4、四元数的使用举例

一个向量:v1,要让它绕 v2 旋转θ度(顺时针转动)

那么有p = (v1, 0); q = ( v2 * sin(θ/2) , cos(θ/2) )

旋转后的四元数为(得到的四元数实部为0,虚部为新的坐标):p^{\prime}=q p q^{-1}

5、四元数的优缺点

优点:

  • 存储空间小,计算效率高。
  • 四元旋转不存在万向节锁问题。

缺点:

  • 四元数的数字表示不直观。
  • 单个四元数不能表示在任何方向上超过180度的旋转。

三、四元数和欧拉角间的相互转化

1、四元数转为欧拉角

设定—— |q|^{2}=w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}=1

{\left[\begin{array}{c} \text { roll } \\ \text { pith } \\ y a w \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \phi \\ \theta \\ \psi \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \operatorname{atan} 2\left(\frac{2(z y+w x)}{w^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}}\right) \\ \arcsin (a(w y-x z)) \\ \operatorname{atan2}\left(\frac{2(x y+w z)}{w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}}\right) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \operatorname{atan} 2\left(\frac{2(z y+w x)}{1-2\left(x^{2}+y^{2}\right)}\right) \\ \arcsin (a(w y-x z)) \\ \operatorname{atan2}\left(\frac{2(x y+w z)}{1-2\left(y^{2}+z^{2}\right)}\right) \end{array}\right]}

2、欧拉角转为四元数

我们设欧拉角,轴角,四元数与旋转矩阵详解_第9张图片

 则有:

q=\left[\begin{array}{l} w \\ x \\ y \\ z \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \cos (\phi / 2) \cos (\theta / 2) \cos (\psi / 2)+\sin (\phi / 2) \sin (\theta / 2) \sin (\psi / 2) \\ \sin (\phi / 2) \cos (\theta / 2) \cos (\psi / 2)-\cos (\phi / 2) \sin (\theta / 2) \sin (\psi / 2) \\ \cos (\phi / 2) \sin (\theta / 2) \cos (\psi / 2)+\sin (\phi / 2) \cos (\theta / 2) \sin (\psi / 2) \\ \cos (\phi / 2) \cos (\theta / 2) \sin (\psi / 2)-\sin (\phi / 2) \sin (\theta / 2) \cos (\psi / 2) \end{array}\right]


四、旋转矩阵

假设绕XYZ三个轴旋转的角度分别为 α ,β ,γ   ,则三次旋转的旋转矩阵计算方法如下:

\begin{array}{l} R_{x}(\alpha)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right] \\ R_{y}(\beta)=\left[\begin{array}{ccc} \cos \beta & 0 & \sin \beta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \beta & 0 & \cos \beta \end{array}\right] \\ R_{z}(\gamma)=\left[\begin{array}{ccc} \cos \gamma & -\sin \gamma & 0 \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{array}

若按Z-Y-X旋转顺序(指先绕自身轴Z,再绕自身轴Y,最后绕自身轴X),则旋转矩阵为:

R=R_{z}(\gamma) * R_{y}(\beta) * R_{x}(\alpha)


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