第一部分 数理逻辑

目录

什么是命题

注意：

例1 下列句子中那些是命题？

联结词

例2 将下列命题符号化.

注意：

例3 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化

例4 求下列复合命题的真值

例题：

真值表：

例题：

---

什么是命题

命题：判断结果唯一的陈述句

命题的真值：判断的结果

真值的取值：真与假

真命题与假命题

注意：

感叹句、祈使句、疑问句都不是命题

陈述句中的悖论，判断结果不唯一确定的不是命题

例1 下列句子中那些是命题？

(1) 是有理数 .

(2) 2 + 5 = 7.

(3) x + 5 > 3.

(4) 你去教室吗？

(5) 这个苹果真大呀！

(6) 请不要讲话！

(7) 2050 年元旦下大雪 .

解：

(1)假命题，因为其为无理数

(2)真命题

(3)不是命题，结果不唯一

(4)不是命题，疑问句

(5)不是命题，感叹句

(6)不是命题，祈使句

(7) 命题，真值未知

如果看不懂定义可以尝试看看我的解释，我自学的时候认为有些定义过于官方不易理解

联结词

定义 1.1 设 p 为命题，复合命题“非 p ”( 或“ p 的否定” ) 称 为 p 的 否定式 ，记作 ¬ p ，符号 ¬ 称作 否定联结词 . 规定 ¬ p 为真当且仅当 p 为假

定义 1.2 设 p,q 为两个命题，复合命题“ p 并且 q ”( 或“ p 与 q ”) 称为 p 与 q 的 合取式 ，记作 p ∧ q， ∧称作 合取联结词 . 规定 p ∧ q 为真当且仅当 p 与 q 同时为真 .

定义 1.3 设 p , q 为两个命题，复合命题“ p 或 q ” 称作 p 与 q 的 析取式 ，记作 p ∨ q ，∨称作 析取联结词 . 规定 p ∨ q 为假当 且仅当 p 与 q 同时为假

简单来说，¬代表否定，∧代表和，∨代表或

以p,q为命题

如果p为真，则 ¬p为假

p∨q有一个真为真

p∧q有一个假为假

例2 将下列命题符号化.

(1) 吴颖既用功又聪明 .

(2) 吴颖不仅用功而且聪明 .

(3) 吴颖虽然聪明，但不用功 .

(4) 张辉与王丽都是三好生 .

(5) 张辉与王丽是同学

解：

p : 吴颖用功 , q : 吴颖聪明

(1) p ∧ q

(2) p ∧ q

(3) ¬ p ∧ q

p : 张辉是三好生 , q : 王丽是三好生

(4)p∧ q

(5) p : 张辉与王丽是同学

定义 1.4 设 p , q 为两个命题，复合命题“如果 p , 则 q ” 称作 p 与 q 的 蕴涵式 ，记作 p → q ，并称 p 是蕴涵式的 前件 ， q 为蕴涵式的 后 件 ， → 称作 蕴涵联结词 .

记住规定： p → q 为假当且仅当 p 为真 q 为假

注意：

“ 如果 p , 则 q ” 有很多不同的表述方法：

若 p ，就 q

只要 p ，就 q

p 仅当 q

只有 q 才 p

除非 q , 才 p 或 除非 q ，否则非 p ， … ．

当 p 为假时， p → q 恒为真，称为空证明

定义 1.5 设 p, q 为两个命题，复合命题“ p 当且仅当 q ” 称作 p 与 q 的 等价式 ，记作 p ↔ q ， ↔ 称作 等价联结词 .

记住规定： p ↔ q 为真 当且仅当 p 与 q 同时为真或同时为假

例3 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化

(1) 只要天冷，小王就穿羽绒服 .

(2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服 .

(3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷 .

(4) 只有天冷，小王才穿羽绒服 .

(5) 除非天冷，小王才穿羽绒服 .

(6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷 .

(7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服 .

(8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候 .

(1)p→ q

(2)p→ q

(3)p→ q

(4)q→ p

(5)q→ p

(6)p→ q

(7)q→ p

(8)q→ p

注意： p → q 与 ¬ q →¬ p 等值（真值相同）

例4 求下列复合命题的真值

(1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6.

(2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数 .

(3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起 .

(4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲 .

(5) 函数 f ( x ) 在 x 0 可导的充要条件是 它在 x 0 连续 .

先判断两边的真值再看看是不是相同的，同真同假为真1，否则为假0

(1)1 

(2)0

(3)1

(4)0

(5)0

定义 1.6 合式公式

(1)单个命题变项和命题常项是合式公式 , 称作 原子命题公式

(2)若 A 是合式公式，则 ( ¬ A ) 也是

(3)若 A , B 是合式公式，则 ( A ∧ B ), ( A ∨ B ), ( A → B ), ( A ↔ B ) 也是

(4)只有有限次地应用 (1)—(3) 形成的符号串才是合式公式

定义 1.7

(1) 若公式 A 是单个命题变项，则称 A 为 0 层公式 .

(2) 称 A 是 n +1( n ≥0) 层公式是指下面情况之一：

(a) A = ¬ B , B 是 n 层公式；

    (b) A = B ∧ C , 其中 B , C 分别为 i 层和 j 层公式， 且 n =max( i , j ) ；

    (c) A = B ∨ C , 其中 B , C 的层次及 n 同 ( b ) ；

    (d) A = B → C , 其中 B , C 的层次及 n 同 ( b ) ；

    (e) A = B ↔ C , 其中 B , C 的层次及 n 同 ( b ).

(3) 若公式 A 的层次为 k , 则称 A 为 k 层公式

例题：

公式 A = p , B = ¬ p , C = ¬ p → q , D = ¬ ( p → q ) ↔ r , E =(( ¬ p ∧ q ) → r ) ↔ ( ¬ r ∨ s )

分别为 0 层， 1 层， 2 层， 3 层， 4 层公式

定义 1.8 设 p 1 , p 2 , … , p n 是出现在公式 A 中的全部命题变项 , 给 p 1 , p 2 , … , p n 各指定一个真值 , 称为对 A 的一个 赋值 或 解释 . 若使 A 为 1, 则称这组值为 A 的 成真赋值 ; 若使 A 为 0, 则称这组 值为 A 的 成假赋值

定义 1.9 将命题公式 A 在所有赋值下取值的情况列成表 , 称作 A 的 真值表

真值表：

构造方法

找出所有命题变项，按层次从左到右排列，列举出所有真值情况，直到找出最后计算的公式真值情况

以 ( p ∨ q ) →¬ r为例

p        q        r	p∨ q	¬r	(p ∨ q ) →¬ r
0        0        0	0	1	1
0        0        1	0	0	1
0        1        0	1	1	1
0        1        1	1	0	0
1        0        0	1	1	1
1        0        1	1	0	0
1        1        0	1	1	1
1        1        1	1	0	0

成真赋值 :000,001,010,100,110

成假赋值 :011,101,111

真值表的用途 :

求出公式的全部成真赋值与成假赋值 , 判断公式的类型

定义 1.10

(1) 若 A 在它的任何赋值下均为真 , 则称 A 为 重言式 或 永真式 ;        无论如何都为真

(2) 若 A 在它的任何赋值下均为假 , 则称 A 为 矛盾式 或 永假式 ;        无论如何都为假

(3) 若 A 不是矛盾式 , 则称 A 是 可满足式         可真可假

注意：重言式是可满足式，但反之不真

例题：

( p ∨ q ) →¬ r, ( q → p ) ∧ q → p, ¬ ( ¬ p ∨ q ) ∧ q

分别为非重言式的可满足式 , 重言式 , 矛盾式