莫比乌斯反演（acwing2702）

对于给出的 n� 个询问，每次求有多少个数对 (x,y)(�,�)，满足 a≤x≤b，c≤y≤d�≤�≤�，�≤�≤�，且 gcd(x,y)=kgcd(�,�)=�，gcd(x,y)gcd(�,�) 函数为 x� 和 y� 的最大公约数。

输入格式

第一行一个整数 n�。

接下来 n� 行每行五个整数，分别表示 a、b、c、d、k�、�、�、�、�。

输出格式

共 n� 行，每行一个整数表示满足要求的数对 (x,y)(�,�) 的个数。

数据范围

1≤n≤500001≤�≤50000,
1≤a≤b≤500001≤�≤�≤50000,
1≤c≤d≤500001≤�≤�≤50000,
1≤k≤500001≤�≤50000

输入样例：

2
2 5 1 5 1
1 5 1 5 2

输出样例：

14
3

思路：

可以设f(k,x,y)为对于1<=i<=x,1<=j<=y,有多少组合gcd(i,j)=k

根据莫比乌斯反演可以设F（k,x,y）为 1<=i<=x,1<=j<=y，有多少组合满足k|gcd(i,j)

代码：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const double eps = 1e-8;
const int N = 50000+1000;
#define LL long long 
int pre[N], mu[N],st[N];
int n,a,b,c,d,k,cn;
long long res;
void into()
{
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= N; i++)
    {
        if (!st[i]) pre[++cn] = i, mu[i] = -1;
        for (int j = 1; pre[j] * i <= N&&j<=cn; j++)
        {
            st[pre[j] * i] = 1;
            if (i % pre[j] == 0) break;
            mu[i*pre[j]] = -mu[i];
        }
    }
    for (int i = 1; i <= N; i++)
        mu[i] += mu[i - 1];
}
int g(int l, int k)
{
    if (k / l==0) return n;
    return k /(k / l);
}
long long f(int a, int b)
{
    res = 0;
    n = min(a, b);
    int x = a / k, y = b / k;
    for (int i = 1,j=1; i <=n; i=j+1)
    {   
         j = min(n, min(g(i,x),g(i,y)));
        res += (LL)(mu[j] - mu[i - 1])*(x/i)*(y/i);
    }
    return res;
}
int main()
{
    into();
    int T;
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        cin >> a >> b >> c >> d >> k;
        cout << f(b, d) - f(a-1, d) - f(b, c-1) + f(a-1, c-1) << endl;
    }
    return 0;
}