动态规划入门-数字三角形（从朴素递归到各种优化）

数字三角形(POJ1163)

Description

7
3   8
8   1   0
2   7   4   4
4   5   2   6   5

 

在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得
路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或
右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。
三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99

输入格式：
5 //三角形行数。下面是三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

要求输出最大和

 

Sample Output

30

Source

IOI 1994

 

 

解题思路：
用二维数组存放数字三角形。
D( r, j) : 第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)
MaxSum(r, j) : 从D(r,j)到底边的各条路径中，
最佳路径的数字之和。
问题：求 MaxSum(1,1)
典型的递归问题。
D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形：
if ( r == N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)

改进

如果每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用
到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。

 

递归转成递推

“人人为我”递推型动归 Pascal代码

 1 //By LYLtim

 2 //2010.10.18

 3 uses math;

 4 var n,i,j:byte;

 5     a:array[1..10,1..10]of word;

 6     f:array[1..10,1..10]of word;

 7 begin

 8     assign(input,'tower.in');reset(input);

 9     assign(output,'tower.out');rewrite(output);

10     readln(n);

11     for i:=1 to n do

12         begin

13             for j:=1 to i do

14                 read(a[i,j]);

15             readln;

16         end;

17     fillchar(f,sizeof(f),0);

18     for i:=1 to n do f[n,i]:=a[n,i];

19     for i:=n-1 downto 1 do

20         for j:=1 to i do

21             f[i,j]:=max(f[i+1,j],f[i+1,j+1])+a[i,j];

22     writeln('max=',f[1,1]);

23     close(input);close(output);

24 end.

空间优化

没必要用二维maxSum数组存储每一个MaxSum(r,j),只要从底层一行行向上
递推，那么只要一维数组maxSum[100]即可,即只要存储一行的MaxSum值就
可以。

进一步考虑，连maxSum数组都可以不要，直接用D的
第n行替代maxSum即可。
节省空间，时间复杂度不变

 

递推+空间优化 C++代码

 1 //By LYLtim

 2 //2015.2.11

 3 #include <iostream>

 4 #include <algorithm>

 5 using namespace std;

 6 int main()

 7 {

 8     int n, d[101][101];

 9     cin >> n;

10     for (int i = 1; i <= n; i++)

11         for (int j = 1; j <= i; j++)

12             cin >> d[i][j];

13     for (int i = n-1; i >= 1 ; i--)

14         for (int j = 1; j <= i; j++)

15             d[n][j] = max(d[n][j], d[n][j+1]) + d[i][j];

16     cout << d[n][1];

17 }

 

递归到动规的一般转化方法

递归函数有n个参数，就定义一个n维的数组，数组
的下标是递归函数参数的取值范围，数组元素的值
是递归函数的返回值，这样就可以从边界值开始，
逐步填充数组，相当于计算递归函数值的逆过程。

 

动规解题的一般思路
1. 将原问题分解为子问题
 把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同
或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解
决(数字三角形例）。
 子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求
解一次。

2. 确定状态
 在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相
关的各个变量的一组取值，称之为一个“状
态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题，
所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状
态”所对应的子问题的解。

所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态
空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。
在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个
问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。
整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需
时间。
在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，且在每个
状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。

用动态规划解题，经常碰到的情况是，K个整型变量能
构成一个状态（如数字三角形中的行号和列号这两个变量
构成“状态”）。如果这K个整型变量的取值范围分别是
N1, N2, ……Nk，那么，我们就可以用一个K维的数组
array[N1] [N2]……[Nk]来存储各个状态的“值”。这个
“值”未必就是一个整数或浮点数，可能是需要一个结构
才能表示的，那么array就可以是一个结构数组。一个
“状态”下的“值”通常会是一个或多个子问题的解。

3. 确定一些初始状态（边界状态）的值
以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值
就是底边数字值。

4. 确定状态转移方程
定义出什么是“状态”，以及在该 “状态”下的“值”后，就要
找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的
“状态”，求出另一个“状态”的“值”(“人人为我”递推型)。状
态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方
程”。

 

能用动规解决的问题的特点
1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的
子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结
构性质。
2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程
的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪
种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没
有关系。