离散数学 第一章 命题逻辑 1-5重言式与蕴含式

从上节真值表和命题的等价公式推证中可以看到，有些命题公式，无论对分量作何种指派，其对应的真值都为t或都为f，这两类特殊的命题公式在今后的命题演算中极为有用。为此，下面做详细的讨论。

定义1-5.1 给定有命题公式，若无论对分量做怎样的指派，其对应的真值为t，则称该命题公式为重言式或永真公式。

定义1-5.2 给定一命题公式,若无论对公式再哟怎样的指派,其对应的真值永为f,则称该命题为矛盾式或永假公式.

定理1-5.1 任何两个重言式的合取或析取,仍然是一个重言式.

证明设a和b为两个重言式,则不论a和b的分量指派任何真值,总有a为t,b为t,故a∧bût,a∨bût.

定理1-5.2一个重言式,对同一分量都用任何合式公式置换,起结果仍为一重言式.

证明 由于重言式的真值与分量的指派无关,故对同一分量以任何合式公式置换后,重言式的真值仍永为t.

对于矛盾式也有类似于定理1-5.1和定理1-5.2的结果.

例题1证明（（p∨s）∧r）∨┓（（p∨s）∧r）为重言式.

证明 因为p∨┓pût,如以（（p∨s）∧r））置换p即得

（（p∨s）∧r））∨┓（（p∨s）∧r）ût

定理1-5.3设a、b为两个命题公式,aûb当且仅当a«b为一个重言式.

证明 若aûb,则a、b有相同真值,即a«b永为t.

若a«b为重言式,则a«b永为t,故a、b的真值相同,即aûb.

例题2证明┓（p∧q）û (┓p∨┓q)

证明 由上节例题4中表1-4.4可知,┓（p∧q）« (┓p∨┓q)为重言式,故据定理1-5.3

┓（p∧q）û (┓p∨┓q)

我门知道,联结词«可以用→来表达.即：a«bû（a→b）∧（b→a）

下面讨论a→b的重言式.

定义1-5.8当且仅当p→q是一个重言式时,我们称“p蕴含q”,并记作pûq.

因为p→q不是对称的，即p→q与q→p不等价,对p→q来说, q→p称为它的逆换式；

┓p→┓q称为它的反换式; ┓q→┓p称为它的逆反式,它们之间的关系如表1-5.1所示.

从表1-5.1中看出:（p→q）û（┓p→┓q）
(q→p)û（┓q→┓p）

因此要证明pþq,只需证明┓qþ┓p,反之亦然.要证pþq,即证p→q是重言式。对于p→q来说,除p的真值取t,q的真值取f这样一种指派时,p→q的真值为f外,其余情况,p→q的真值为t.故要证pþq,只需对条件命题p→q的前件p,指定真值为t,若由此推出q的真值亦为t,则p→q是重言式,即pþq成立;同理,如对条件命题p→q中,假定后件q的真值取f,若由此推出p的真挚为f,即推出了┓q→┓p,故pþq成立.

表1-5.1

p	q	┓p	┓q	p→q	┓q→┓p	q→p	┓p→┓q
t	t	f	f	t	t	t	t
t	f	f	t	f	f	t	t
f	t	t	f	t	t	f	f
f	f	t	t	t	t	t	t

     

例题1推证┓q∧（p→q）þ┓p

证法1假定┓q∧（p→q）为t,则┓q为t,且（p→q）为t.有q为f, p→q为t,则必须p为f,则┓p为t.

证法2假定┓p为f,则p为t.
（a）:若q为f,则p→q为f,┓q∧（p→q）为f.
（b）:若q为t,则┓q为f,┓q∧（p→q）为f.
所以┓q∧（p→q）þ┓p成立.

表1-5.2所列各蕴含式都可如上述推理方法证明:

表1-5.2

p∧qþp	1
p∧qþq	2
pþp∨q	3
┓pþp→q	4
qþp→q	5
┓（p→q）þp	6
┓（p→q）þ┓q	7
p∧（p→q）þq	8
┓q∧（p→q）þ p	9
┓p∧（p→q）þq	10
（p→q）∧（q→r）þp→r	11
（p∨q）∧（p→r）∧（q→r）þ r	12
（p→q）∧（r→s）þ（p∧r）→（q∧s）	13
(p«q)∧（r«s）þ（p«r）	14

就象联结词«和→的关系一样,等价式与蕴含式之间也有紧密的联系.

定理1-5.4设p、q为任意两个命题公式,pû q的充分必要条件是pûq且qûp.

证明 若pûq,则p«q为重言式，因为p«qû（p→q）∧（q→p）,故p→q为t且q→p为t,即pþq,qþp成立.反之,若pþq且qþp,则p→q为t且q→p为t,因此p«q为t, p«q是重言式,即pûq.

这个定理也可作为两个公式等价的定义.

蕴含有下面几个常用的性质:
（1）设a、b、c为合式公式,若aób且a是重言式,则b必是重言式.
       证明 因为a→b永为t,所以,当a为t时,b必永为t.
（2）若aþb,bþc,则aþc,即蕴含关系是传递的.
       证明 由aþb,bþc,即a→b,b→c为重言式.所以（a→b）∧（b→c）为重言式.
   由表1-5.2的(11)式,（a®b）∧（b→c）þa→c,故由性质(1),a→c为重言式.即aþc.
（3）若aþb,且aþc,那末aþ (b∧c).
       证明 由假设a→b, a→c为重言式.设a为t,则b、c为t,故b∧c为t.因此,a→(b∧c)为t.
       若a为f,则b∧c不论有怎样的真值,a→(b∧c)为t.
 所以, aþ (b∧c)
（4）若aþb且bþc,则a∨cþb.
       证明  因为a→b为t,c→b为t,故（┓a∨b）∧（┓c∨b）为t.
       即(┓a∨┓c)∨b为t或a∨c→b为t.
       所以   a∨cþb