题目大意：给定n阶方阵A，计算S = A^1+A^2+……+A^k
(mod m) (k <= 10^9) 我们可以根据矩阵快速幂在O(n^3log(k))的时间里算出A^k，但我们也不能一个一个算再加起来啊，那样铁定超时……
①二分 这种方法我觉得与
秦九韶算法计算多项式的思路类似，都是找出重复因子而减少多项式计算的次数.当然我们这个多项式比较特殊，所以有比秦九韶算法更好的思路： 当k为偶数时： S(k) = A^1+A^2+A^3 + A^(k/2) + A^(k/2+1) + …… + A^(k/2+k/2) = (A^(k/2) + E) (A^1 + A^2 + A^3 …… + A^(k/2) ) =(A^(k/2) + E) * S(k/2) 当k为奇数时： S(k) = S(k-1) * A^k 这种方法可能出现递归过深的问题，所以要设置好占空间小心栈溢出，而且速度也偏慢
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AbandonZHANG |
3233 |
Accepted |
3532K |
704MS |
G++ |
2444B |
2013-01-28 20:53:36 |
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②线性变换(很赞的一种方法呐~！涨姿势~) 我们考虑递推，即从s(k-1)到s(k)的线性变换。 首先一维线性变换显然是出不来的，就像A^1+A^2+A^3+……+A^k = d * (A^1+A^2+A^3+……+A^(k-1) ) 明显不行…… 那么我们再加一维就显然了： A^1+A^2+A^3+……+A^k =( A^1+A^2+A^3+……+A^(k-1) ) + A^k A^(k+1) = 0 * ( A^1+A^2+A^3+……+A^(k-1) ) + A * A^k. //这一行的变换是作为辅助，补全二维的线性变换. 那么线性变换矩阵B显然就是： 1 1 0 1 一般化就有 s(k) 1 1 s(k-1) A^k+1 = 0 1 * A^k 即P(k) = B^(n-1) * P(1) 这样要比①好多了，又省空间又省时间。
| 11217490 |
AbandonZHANG |
3233 |
Accepted |
1016K |
282MS |
G++ |
2962B |
2013-01-28 21:25:37 |
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