最小生成树之 prim算法和kruskal算法(以 hdu 1863为例)

最小生成树的性质

MST性质：设G = (V,E)是连通带权图，U是V的真子集。如果(u,v)∈E,且u∈U,v∈V-U,且在所有这样的边中，

(u,v)的权c[u][v]最小，那么一定存在G的一棵最小生成树，(u,v)为其中一条边。

构造最小生成树，要解决以下两个问题：
(1).尽可能选取权值小的边，但不能构成回路（也就是环）。
(2).选取n-1条恰当的边以连接网的n个顶点。

Prim算法的思想：

设G = (V,E)是连通带权图，V = {1,2,…,n}。先任选一点（一般选第一个点），首先置S = {1}，然后，只要S是V的真子集，就选取满足条件i ∈S,j ∈V-S,且c[i][j]最小的边，将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S = V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。

 

Prim算法代码     

以 hdu 1863为例 （点击打开链接）

#include<stdio.h>

#include<limits.h>

#include<string.h>

#define N 100

int n,m,map[N+5][N+5],v[N+5],low[N+5];

int prim()

{

    int i,j,pos,min,s=0;

    memset(v,0,sizeof(v));           //v[i]用来标记i是否已访问，先初始化为0，表示都未访问

    v[1]=1;                         //先任选一点作为第一个点

    pos=1;                          //pos用来标记当前选的点的下标

    for(i=2;i<=n;i++)

        low[i]=map[1][i];          //用low数组存已选点到其他点的权值

    for(i=1;i<n;i++){

        min=INT_MAX;

        for(j=1;j<=n;j++)                //求权值最小的边

            if(!v[j]&&low[j]<min){

                min=low[j];

                pos=j;                 

            }

        if(min==INT_MAX)    

            break;

        s+=min;            

        v[pos]=1;           

        for(j=1;j<=n;j++)                   //更新low数组    

            if(!v[j]&&map[pos][j]<low[j])

                low[j]=map[pos][j];

    }

    if(i!=n)

        s=-1;

    return s;

}

int main()

{

    int i,j,s,a,b,c;

    while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF){          //m为道路数，n为村庄数

        if(m==0)

            break;

        for(i=1;i<=n;i++)

            for(j=1;j<=n;j++)

                map[i][j]=INT_MAX;             //先将map数组初始化为很大的值（int 最大值）

        for(i=1;i<=m;i++){

            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

            map[a][b]=map[b][a]=c;             //map[a][b]存的从a到b的权值

        }

        s=prim();

        if(s==-1)

            printf("?\n");

        else

            printf("%d\n",s);

    }

    return 0;

}

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Kruskal算法思想

给定无向连同带权图G = (V,E),V = {1,2,...,n}。

（1）首先将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支。将所有的边按权从小大排序。

（2）从第一条边开始，依边权递增的顺序检查每一条边。并按照下述方法连接两个不同的连通分支：当查看到第k条边(v,w)时，如果端点v和w分别是当前两个不同的连通分支T1和T2的端点是，就用边(v,w)将T1和T2连接成一个连通分支，然后继续查看第k+1条边；如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接再查看k+1条边。这个过程一个进行到只剩下一个连通分支时为止。此时，已构成G的一棵最小生成树。

Kruskal算法代码：

以 hdu 1863为例 （点击打开链接）

 1 #include<cstdio>

 2 #include<algorithm>

 3 using namespace std;

 4 int f[105],n,m;

 5 struct stu

 6 {

 7     int a,b,c;

 8 }t[5500];

 9 int cmp(struct stu x,struct stu y)

10 {

11     return x.c<y.c;

12 }

13 int find(int x)              //路径压缩，找父节点

14 {

15     if(x!=f[x])

16         f[x]=find(f[x]);

17     return f[x];

18 }

19 int krus()

20 {

21     int i,k=0,s=0,x,y;

22     for(i=1;i<=n;i++){

23         x=find(t[i].a);

24         y=find(t[i].b);

25         if(x!=y){              //最小生成树不能形成环，所以要判断它们的是否属于同一集合

26             s+=t[i].c;

27             k++;

28             if(k==m-1)      //<span style="font-family: KaiTi_GB2312;">最小生成树会形成m-1（顶点-1）条边，若已形成，则最小生成树已构成</span>

29                 break;

30             f[x]=y;          //将父节点更新

31         }

32     }

33     if(k!=m-1)

34         s=-1;

35     return s;

36 }

37 int main()

38 {

39     int i,s;

40     while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){

41         if(n==0)

42             break;

43         for(i=1;i<=n;i++)

44             scanf("%d%d%d",&t[i].a,&t[i].b,&t[i].c);

45         for(i=1;i<=m;i++)         //f[i]存的结点i的父亲，先将其父亲都初始化为其本身

46             f[i]=i;

47         sort(t+1,t+1+n,cmp);      //按权值从小到大排序

48         s=krus();

49         if(s==-1)

50             printf("?\n");

51         else

52             printf("%d\n",s);

53     }

54     return 0;

55 }

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注：若顶点数为n,边为e

prim算法适合稠密图，其时间复杂度为O(n^2)，其时间复杂度与边的数目无关，

而kruskal算法的时间复杂度为O(eloge)跟边的数目有关，适合稀疏图。