约瑟夫问题

问题陈述：

       据说著名的犹太历史学家Josephus有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，39个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个山洞里，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人围成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第三人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。

       然而Josephus和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个和第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

问题解法：

       约瑟夫问题可用代数分析来求解，此处将这个问题扩大，假设现在您有m个朋友不幸参与了这个游戏，您要如何保护您与您的朋友？其实只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏，这两个圆圈内圈是排列顺序，而外圈是自杀顺序，如下图所示：

       使用程式来求解的话，只要将阵列当做环装来处理就可以了，在阵列中由计数1开始，每找到三个无资料区就填入一个计数，直到计数达41为止，然后将阵列由索引1开始出，就可以得知每个位置的自杀顺序，这就是约瑟夫排列，41个人而报数3的约瑟夫排列如下所示：

14 36 1  38 15 2  24 30 3  16 34 4  25 17 5  40 31 6  18 26 7  37 19 8  35 27 9  20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23   由上可知，最后一个自杀的是在第31个位置，而倒数第二个自杀的要排在第16个位置。

 

代码详解：

 1 /*

 2 N:表示总人数

 3 M:报M死亡

 4 m:表示自己和朋友总人数

 5 0:标志活着

 6 a[N]死亡顺序 下标从0开始

 7 p[m]朋友及自己位置编号

 8 pos = (pos+1)%N 环状处理

 9 输出最后m个死亡位置编号

10 */

11 #include <stdio.h>

12 #include <stdlib.h>

13 #define N 41

14 #define M 3

15 #define m 2

16 

17 

18 int main(void) {

19     int num = 0, pos = -1, i = 1, count = 0, k = N;

20     int a[N] = {0}, p[m];

21 

22     while(i<N+1) {

23         pos = (pos+1)%N;

24         if(a[pos] == 0) {

25             num ++;

26         }

27         if(num == M) {

28             num = 0;

29             a[pos] = i++;

30         }

31     }

32 

33     i = 0;

34     pos = -1;

35     while(count<m) {

36         pos = (pos+1)%N;

37         if(a[pos] == k) {

38             p[i++] = pos+1;

39             count++;

40             k--;

41         }

42     }

43 

44     for(i=0; i<m; i++) {

45         printf("%-3d",p[i]);

46     }

47     return 0;

48 }

 

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