BZOJ 2005: [Noi2010]能量采集

2005: [Noi2010]能量采集

Description

栋栋有一块长方形的地，他在地上种了一种能量植物，这种植物可以采集太阳光的能量。在这些植物采集能量后，栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起。 栋栋的植物种得非常整齐，一共有n列，每列有m棵，植物的横竖间距都一样，因此对于每一棵植物，栋栋可以用一个坐标(x, y)来表示，其中x的范围是1至n，表示是在第x列，y的范围是1至m，表示是在第x列的第y棵。 由于能量汇集机器较大，不便移动，栋栋将它放在了一个角上，坐标正好是(0, 0)。 能量汇集机器在汇集的过程中有一定的能量损失。如果一棵植物与能量汇集机器连接而成的线段上有k棵植物，则能量的损失为2k + 1。例如，当能量汇集机器收集坐标为(2, 4)的植物时，由于连接线段上存在一棵植物(1, 2)，会产生3的能量损失。注意，如果一棵植物与能量汇集机器连接的线段上没有植物，则能量损失为1。现在要计算总的能量损失。 下面给出了一个能量采集的例子，其中n = 5，m = 4，一共有20棵植物，在每棵植物上标明了能量汇集机器收集它的能量时产生的能量损失。 在这个例子中，总共产生了36的能量损失。

Input

仅包含一行，为两个整数n和m。

Output

仅包含一个整数，表示总共产生的能量损失。

Sample Input

【样例输入1】

5 4

【样例输入2】

3 4

Sample Output

【样例输出1】

36

【样例输出2】

20

【数据规模和约定】

对于10%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10；

对于50%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100；

对于80%的数据：1 ≤ n, m ≤ 1000；

对于90%的数据：1 ≤ n, m ≤ 10,000；

对于100%的数据：1 ≤ n, m ≤ 100,000。

 

——我是愉快的分割线——
可以证明点(x,y)与(0,0)所连线段上不包含原点有的点为gcd(x,y)
于是问题就变成了求gcd(x,y)(1 <= x <= n,1 <= y <= m)的和；
可以设f[i]表示gcd为i的点对数有多少
首先公因数里面有i的点对数显然是(n / i) * ( m / i)
然后再减去f[i的倍数]就得到了f[i]
然后ans就很好求了
下面是代码：

#include<cstdio>

#include<algorithm>

using namespace std;

long long n,m;

long long ans=0;

long long f[100010];

int main(){

	scanf("%lld%lld",&n,&m);

	if (m>n) swap(n,m);

	for (int i=n;i;i--){

		f[i]=(n/i)*(m/i);

		for (int j=i+i;j<=n;j+=i){

			f[i]-=f[j];

		}

		ans+=f[i]*(2*i-1);

	}

	printf("%lld\n",ans);

	return 0;

}