线段树或树状数组求逆序数
线段树或树状数组求逆序数
求逆序数的方法有分治，归并，本文只介绍线段树或树状数组求逆序数的办法，众所周知，线段树和树状树可以用来解决区间操作问题，就是因为这两个算法区间操作的时间复杂度很低O(logN)，才让这种方法具有可行性。
首先先来看一个序列 6 1 2 7 3 4 8 5，此序列的逆序数为5+3+1=9。冒泡法可以直接枚举出逆序数，但是时间复杂度太高O(n^2)。冒泡排序的原理是枚举每一个数组，然后找出这个数后面有多少个数是小于这个数的，小于它逆序数+1。仔细想一下，如果我们不用枚举这个数后面的所有数，而是直接得到小于这个数的个数，那么效率将会大大提高。
总共有N个数，如何判断第i+1个数到最后一个数之间有多少个数小于第i个数呢？不妨假设有一个区间 [1,N]，只需要判断区间[i+1,N]之间有多少个数小于第i个数。如果我们把总区间初始化为0，然后把第i个数之前出现过的数都在相应的区间把它的值定为1，那么问题就转换成了[i+1,N]值的总和。再仔细想一下，区间[1,i]的值+区间[i+1,N]的值=区间[1,N]的值(i已经标记为1)，所以区间[i+1,N]值的总和等于N-[1,i]的值！因为总共有N个数，不是比它小就是比它(大或等于)。
现在问题已经转化成了区间问题，枚举每个数，然后查询这个数前面的区间值的总和，i-[1,i]既为逆序数。
线段树预处理时间复杂度O(NlogN)，N次查询和N次插入的时间复杂度都为O(NlogN)，总的时间复杂度O(3*NlogN)
树状数组不用预处理，N次查询和N次插入的时间复杂度都为O(NlogN)，总的时间复杂度O(2*NlogN)
线段树:
// 线段树
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX 51000
#define MID(a,b) (a+b)>>1
#define R(a) (a<<1|1)
#define L(a) a<<1
typedef struct {
int num,left,right;
}Node;
int ans[MAX];
Node Tree[MAX<<2];
int n;
void Build(int t,int l,int r) //以1为根节点建立线段树
{
int mid;
Tree[t].left=l,Tree[t].right=r;
if(Tree[t].left==Tree[t].right)
{
Tree[t].num=0;
return ;
}
mid=MID(Tree[t].left,Tree[t].right);
Build(L(t),l,mid);
Build(R(t),mid+1,r);
}
void Insert(int t,int l,int r,int x) //向以1为根节点的区间[l,r]插入数字1
{
int mid;
if(Tree[t].left==l&&Tree[t].right==r)
{
Tree[t].num+=x;
return ;
}
mid=MID(Tree[t].left,Tree[t].right);
if(l>mid)
{
Insert(R(t),l,r,x);
}
else if(r<=mid)
{
Insert(L(t),l,r,x);
}
else
{
Insert(L(t),l,mid,x);
Insert(R(t),mid+1,r,x);
}
Tree[t].num=Tree[L(t)].num+Tree[R(t)].num;
}
int Query(int t,int l,int r) //查询以1为根节点，区间[l,r]的和
{
int mid;
if(Tree[t].left==l&&Tree[t].right==r)
return Tree[t].num;
mid=MID(Tree[t].left,Tree[t].right);
if(l>mid)
{
return Query(R(t),l,r);
}
else if(r<=mid)
{
return Query(L(t),l,r);
}
else
{
return Query(L(t),l,mid)+Query(R(t),mid+1,r);
}
}
int main()
{
int a,n,i,t;
scanf("%d",&t);
long long int k;
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
memset(Tree,0,sizeof(Tree)); //初始化线段树
Build(1,1,n);
for(i=1;i<=n;i++) //输入n个数
{
scanf("%d",&ans[i]);
}
for(i=1,k=0;i<=n;i++)
{
a=ans[i];
Insert(1,a,a,1); //把线段树[ans[i],ans[i]]区间的值插入为1
k=k+(i-Query(1,1,a)); //查询区间[1,ans[i]]值的总和,逆序数等于i-[1,ans[i]]
}
printf("%lld\n",k);
}
return 0;
}
树状数组:
// 树状数组
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 100010
int c[MAX],a[MAX],ans[MAX],n;
int Lowbit(int x) //返回二进制最后一个1所表示的数
{
return x&(-x);
}
void Updata(int x) //向前更新
{
while(x<=n)
{
c[x]++;
x+=Lowbit(x);
}
}
int Sum(int x) //向后更新求和
{
int sum=0;
while(x>0)
{
sum+=c[x];
x-=Lowbit(x);
}
return sum;
}
int main()
{
int i,t,k;
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&ans[i]);
}
memset(c,0,sizeof(c)); //初始化树状数组
for(i=1,k=0;i<=n;i++)
{
Updata(ans[i]); //向后更新节点ans[i].k
k=k+(i-Sum(ans[i])); //向前查询节点ans[i].k
}
printf("%d\n",k);
}
return 0;
}