最短路

本文介绍4种算法：SPFA, Dijkstra, Bellman-Ford, Floyd
PS:文中分大小写。 图为G(V,E)，V为节点集合，E为边集合，但v表示某个节点（v∈V）

Dijkstra:

• 原理：通过每一次解压节点min{key[v]|v∈G-已经生成的最短路径的树}并添加到树中，并将所有以v为起点的边松弛（key域），来达到最短路（贪心）
• 注意：图中不能有负权，不能查是否有负权回路
• 步骤：
  1. 初始化key域。每个key[v]=INF，v∈V
  2. 将最短路起点S的key[S] = 0
  3. 定义一个优先队列 priority_queue (#include <queue>) ，并将S节点（可以考虑用pair来绑定key域,也可以用一个结构来绑定）压入。//STL的队列默认为最大优先，故要创建一个比较类，重载()来实现最小堆
  4. 循环（直到队列为空）每一次解压最小值， 将最小key域所绑定的节点v解压出来并添加到树中（直接用一个bool数组来确定是否在树中即可，要输出路径就定义一个父亲域并维护）将v为起点的边全部松弛一遍，维护key域。并将这条边的终点压入队列。

• 分析：时间复杂度O(N^2)
• 适用于：稠密图
• 优化：优化堆的实现，即手打FIB堆或其它比STL快的堆= =。可以达到O(NlogN)

Bellman-Ford:

• 原理：通过V-1次（最短路长度最多有V-1条边嘛- -）对每一条边松弛，来实现最短路（同样是贪心）
• 好处：图中可以有负权，也能判断是否有负权回路
• 步骤：
  1. 初始化key域。每个key[v]=INF，v∈V
  2. 循环（1~n-1）
  3. 枚举所有边进行松弛
  4. 判断是否有回路，循环（1~V）
     如果以v∈V为起点的边还能松弛，即有回路。（自己拿算导看证明哈，或者谷歌百度，或者自己想）

• 分析：时间复杂度O(VE)
• 适用于：稀疏图和负权图
• 优化：我布吉岛

Floyd:

4行代码：

for(k = 1; k <= N; k++)

	for(i = 1; i <= N; i++)

		for(j = 1; j <= N; j++)

			node[i][j] = min(node[i][j], node[i][k]+node[k][j]);

SPFA：（全名为：ShortestPathFasterAlgorithm）

百科

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我们知道，求一个图中的单源最短路径有Dijkstra、Ford这两种经典的算法。其复杂度均是O(N2)，通过堆的优化，Dijkstra可以达到O(NlogN)的复杂度。但对于一些十分稀疏的图，这个复杂度就有些浪费了。当一个图中的边数e远远小于N2时，我们就考虑是否有一种算法，其时间复杂度只跟边数e有关系。于是SPFA诞生了。

我们知道，Dijkstra的O(N2)是因为又一重循环是为了找到目前的Dist值最小的节点，于是我们想，能不能不找最小的，只是按照一定的顺序更新就可以了。那么算法的雏形就出来了,设S为源点：

Quene←S

While Quene not empty do

    Tmp←Quene

    For each node i with an edge to Tmp do

        If Dist[i] > Dist[Tmp]+length(edge(i,Tmp)) then

            Dist[i]←Dist[Tmp]+length(edge(i,Tmp))

            If i not in the Quene then

                Quene←i

这就是传说中的SPFA。我们来看看它的执行过程：

为了图片的美观，我隐藏了顶点的标号。左上角的顶点为源点，黄的的点表示在队列中，绿色的点表示正在处理：

至此，队列空，算法结束。

为什么它能收敛呢？为什么它不会一直循环下去呢？因为总有一刻Dist[i]已经达到最小值，这时i这个顶点就再也不会入队了，并且当访问到i的时候，与i邻接的顶点也会被更新。所以总有一刻，所有的Dist都是最优值，算法结束。

可以证明，假设每个节点的平均入队次数是k,那么时间复杂度就是O(ke)。而这里的k几乎可以认为是一个常数，所以简算之后时间复杂度为O(e)。

如果时间复杂度优于这个值，就是说我们并没有处理完图中所有的边，就不可能一定可以得到最优解，所以，O(e)是所期望的最好的复杂度。
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