向量空间

线性代数研究了：在有限纬度的向量空间上的，线性映射。下面就一一分解一下，这些概念的含义。

很多的数学公式和定理，一旦将实数和复数结合起来分析，往往会得到更加深入的理解。

复数

那么首先来看看，什么是复数。复数的定义如下：

C = {a + bi : a, b ∈ R}

由于复数与实数的基本运算基本上是一致的，所以，大多数的线性代数中的定理对于复数和实数都满足，并且，复数和实数都是标量（scalar）。

向量空间

那么什么是向量空间呢？首先，看看一个二维的向量空间。

R2 = {(x, y) : x, y ∈ R}.这是我们熟悉的平面（plane）。R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}.这是我们熟悉的立体空间（space）。

为了将这一维度推向更高，我们就先引出n元列表（list），或者叫做n元组（n-tuple）~(x1, . . . , xn).

向量空间（vector space）的本质是一个集合（set），该集合的元素满足一系列向量运算特性：交换律、结合律、加性可逆等。

向量空间的元素可以是一个个的向量（vector），也可以称之为点（point），但是值得说明的是，并不是所有的向量空间都是列表（向量）构成的。

p(z) = a0 + a1z + a2z^2 + · · · + amz^m,p:F~F,是一个多项式的向量空间，很显然它并不是list，而是一个函数。

向量空间的特性

交换律、结合律、加性可逆等。

子空间

子空间需要满足一定的封闭性，即加性封闭和乘性封闭；同时子空间必须包含0向量。

直和（direct sum）

The direct sum is an operation from abstract algebra, a branch of mathematics. 

Suppose that U1, . . . , Un are subspaces of V. Then

V = U1 ⊕ · · · ⊕ Un if and only if both the following conditions hold:

(a) V = U1 + · · · + Un;

(b) the only way to write 0 as a sum u1 + · · · + un, where each

uj ∈ Uj, is by taking all the uj’s equal to 0.