【背包专题】01背包

暑假集训开始了，按照队里的分配，我是弄DP的，嘛，于是我又一次的开始了从01背包开始学习，昨天将杭电的几道01背包重新做了一遍，下面讲讲我自己对于01背包的理解。

 

首先01背包题目的雏形是

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

从这个题目中可以看出，01背包的特点就是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

其状态转移方程是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

对于这方方程其实并不难理解，方程之中，现在需要放置的是第i件物品，这件物品的体积是c[i],价值是w[i],因此f[i-1][v]代表的就是不将这件物品放入背包，而f[i-1][v-c[i]]+w[i]则是代表将第i件放入背包之后的总价值，比较两者的价值，得出最大的价值存入现在的背包之中。

理解了这个方程后，将方程代入实际题目的应用之中，可得

for(i = 1; i<=n; i++)
{
    for(j = v; j>=c[i]; j--)//在这里，背包放入物品后，容量不断的减少，直到再也放不进了
    {
        f[i][v]=max(f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]);
    }
}

理解了01背包之后，下面就来看看实际的题目

HDU2546：饭卡
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2546
很经典的一道01背包题，要注意的是这里只要剩余的钱不低于5元，就可以购买任何一件物品，所以5在这道题中是很特许的，再使用01背包之前，我们首先要在现在所拥有的余额中保留5元，用这五元去购买最贵的物品，而剩下的钱就是背包的总容量，可以随意使用，因此可得代码

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

int cmp(int a,int b)
{
    return a<b;
}

int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n),n)
    {
        int i,price[2013]= {0},dp[2013] = {0};
        for(i = 1; i<=n; i++)
            scanf("%d",&price[i]);
        sort(price+1,price+1+n,cmp);
        int MAX=price[n];
        int j,m;
        scanf("%d",&m);
        if(m<5)//低于5元不能购买
        {
            printf("%d\n",m);
            continue;
        }
        m-=5;//取出5元用于购买最贵的物品
        for(i = 1; i<n; i++)//01背包
        {
            for(j = m;j>=price[i];j--)
            {
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-price[i]]+price[i]);
            }
        }
        printf("%d\n",m+5-dp[m]-MAX);
    }

    return 0;
}

 

 

HDU1171：Big Event in HDU

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1171

这道题咋看有点复杂，其实也只是换了一种思维，因为题目要求要尽量平均分配，所以我们可以先将总价值sum求出，然后得出其分配的平均值为sum/2,要注意这个答案可能为小数，但是又因为sum是整数，所以最后得出的sum/2是要小于等于实际的值。将这个结果进行01,背包，可以得出其中一个宿舍所得的最大价值，而另一个宿舍的最大价值也可以相应的得到，而前者必定小于等于后者。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

int val[5005];
int dp[255555];

int main()
{
    int n,i,j,a,b,l,sum;
    while(~scanf("%d",&n),n>0)
    {
        memset(val,0,sizeof(val));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        l = 0;
        sum = 0;
        for(i = 0;i<n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);
            while(b--)
            {
                val[l++] = a;//将价值存入数组
                sum+=a;
            }
        }
        for(i = 0;i<l;i++)
        {
            for(j = sum/2;j>=val[i];j--)//01背包
            {
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-val[i]]+val[i]);
            }
        }
        printf("%d %d\n",sum-dp[sum/2],dp[sum/2]);
    }

    return 0;
}

HDU2602：Bone Collector

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

经典的01背包题，给出了石头的数量与背包的容量，然后分别给出每个石头的容量与价值，要求最优解，经过前面的练手，这道题已经是很简单了，可以说是01背包果题。

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Node
{
    int h;
    int v;
} node[1005];

int main()
{
    int t,n,m,l;
    int dp[1005];
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        int i;
        for(i = 1; i<=n; i++)
            scanf("%d",&node[i].h);
        for(i = 1; i<=n; i++)
            scanf("%d",&node[i].v);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(i = 1; i<=n; i++)
        {
            for(l = m; l>=node[i].v; l--)
                dp[l] = max(dp[l],dp[l-node[i].v]+node[i].h);
        }
        printf("%d\n",dp[m]);
    }

    return 0;
}

HDU2639：Bone Collector II(01背包第k优解)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2639

解决了上面那倒题目之后，这道题跟上面的题目有些不同，因为这里要求的是第K优解

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Node
{
    int price;
    int val;
} node[1005];

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int n,v,k,i,dp[1005][31] = {0},a[31],b[31];
        scanf("%d%d%d",&n,&v,&k);
        for(i = 0; i<n; i++)
            scanf("%d",&node[i].price);
        for(i = 0; i<n; i++)
            scanf("%d",&node[i].val);
        int j;
        for(i = 0; i<n; i++)
        {
            for(j = v; j>=node[i].val; j--)
            {
                int cnt = 0,d;
                for(d = 1; d<=k; d++)//分别将放入第i个石头与不放第i个石头的结果存入a,b,数组之中
                {
                    a[d] = dp[j-node[i].val][d]+node[i].price;
                    b[d] = dp[j][d];
                }
                int x,y,z;
                x = y = z = 1;
                a[d] = b[d] = -1;
                while(z<=k && (x<=k || y<=k))//循环找出前K个的最优解
                {
                    if(a[x] > b[y])
                    {
                        dp[j][z] = a[x];
                        x++;
                    }
                    else
                    {
                        dp[j][z] = b[y];
                        y++;
                    }
                    if(dp[j][z]!=dp[j][z-1])
                    z++;
                }
            }
        }
        printf("%d\n",dp[v][k]);
    }

    return 0;
}

 

HDU2955：Robberies

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2955

这道题有点特别，咋看之下其状态转移方程似乎有些不同，但事实上远离是相通的，要注意其精度

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Bank
{
    int money;
    double p;
} bank[10005];

int main()
{
    int n,t;
    double p;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lf%d",&p,&n);
        p = 1-p;
        int i,j,sum = 0;
        for(i = 0; i<n; i++)
        {
            scanf("%d%lf",&bank[i].money,&bank[i].p);
            bank[i].p = 1-bank[i].p;
            sum+=bank[i].money;
        }
        double dp[10005]= {1.0};
        for(i = 0; i<n; i++)
        {
            for(j = sum; j>=bank[i].money; j--)
            {
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-bank[i].money]*bank[i].p);
            }
        }
        for(i = sum; i>=0; i--)
        {
            if(dp[i]-p>0.000000001)
            {
                printf("%d\n",i);
                break;
            }
        }
    }

    return 0;
}

HDU3466：Proud Merchants

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3466

这道题由于规定了手上的前低于q时就不能购买该样东西，所以要先将商品按q-p排序，剩下的就是简单的01背包了

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct node
{
    int p,q,v;
} a[555];

int cmp(node x,node y)//按q-p排序，保证差额最小为最优
{
    return x.q-x.p<y.q-y.p;
}

int main()
{
    int n,m,i,j;
    int dp[5555];
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        for(i = 0; i<n; i++)
            scanf("%d%d%d",&a[i].p,&a[i].q,&a[i].v);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        sort(a,a+n,cmp);
        for(i = 0; i<n; i++)
        {
            for(j = m; j>=a[i].q; j--)//剩余的钱大于q才能买
            {
                dp[j] = max(dp[j],dp[j-a[i].p]+a[i].v);//这里的j-a[i].p决定了之前的排序方法
            }
        }
        printf("%d\n",dp[m]);
    }

    return 0;
}

 

HDU1864：最大报销额

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1864

题目中药注意的有几样，首先每张发票中单件物品价格不能超过600，其次发票总额不能超过1000，而且发票上的物品必须是ABC三类，将满足以上条件的发票存入数组之中，就是裸01背包

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using namespace std;

int main()
{
    char ch;
    double sum,a,b,c,dp[35],money[35],v;
    int t,i,j,k;
    while(~scanf("%lf%d",&sum,&t),t)
    {
        memset(money,0,sizeof(money));
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        int l = 0;
        for(i = 0; i<t; i++)
        {
            scanf("%d",&k);
            a = b = c = 0;
            int flag = 1;
            while(k--)
            {
                scanf(" %c:%lf",&ch,&v);
                if(ch == 'A' && v<=600)
                    a+=v;
                else if(ch == 'B' && v<=600)
                    b+=v;
                else if(ch == 'C' && v<=600)
                    c+=v;
                else
                    flag = 0;
            }
            if(a+b+c<=1000 && a<=600 && b<=600 && c<=600 & flag)//按题意所说，必须满足这些条件
                money[l++] = a+b+c;
        }
        for(i = 0; i<=l; i++)
        {
            for(j = l; j>=1; j--)
            {
                if(j == 1 || dp[j-1]>=0 && dp[j-1]+money[i]<=sum)//状态转移
                    dp[j] = max(dp[j],dp[j-1]+money[i]);
            }
        }
        int ans = 0;
        for(i = 1; i<=l; i++)
        {
            if(dp[ans]<dp[i])//找出最大
                ans = i;
        }
        printf("%.2lf\n",dp[ans]);
    }

    return 0;
}

 

恩，01背包的专题就到这里了，第一次说算法，说得不咋样，语言表达能力有限，各位看客求宽容啊！！！