数学建模常用Matlab/Lingo/c代码总结系列——最小费用最大流问题

例 19（最小费用最大流问题）（续例18）由于输油管道的长短不一或地质等原因，

使每条管道上运输费用也不相同，因此，除考虑输油管道的最大流外，还需要考虑输油

管道输送最大流的最小费用。图 8 所示是带有运费的网络，其中第 1 个数字是网络的容

量，第 2 个数字是网络的单位运费。

图8 最小费用最大流问题

解 按照最小费用流的数学规划写出相应的 LINGO 程序如下：

model: sets: nodes/s,1,2,3,4,t/:d; arcs(nodes,nodes)/s 1,s 3,1 2,1 3,2 3,2 t,34,4 2,4 t/:c,u,f; endsets data: d=14 0 0 0 0 -14; !最大流为14; c=2 8 2 5 1 6 3 4 7; u=8 7 9 5 2 5 9 6 10; enddata min=@sum(arcs:c*f); @for(nodes(i):@sum(arcs(i,j):f(i,j))-@sum(arcs(j,i):f(j,i))=d(i)); @for(arcs:@bnd(0,f,u)); end

求得最大流的最小费用是 205，而原最大流的费用为 210 单位，原方案并不是最优

的。

类似地，可以利用赋权邻接矩阵编程求得最小费用最大流。LINGO 程序如下：

model: sets: nodes/s,1,2,3,4,t/:d; arcs(nodes,nodes):c,u,f; endsets data: d=14 0 0 0 0 -14; c=0; u=0; enddata calc: c(1,2)=2;c(1,4)=8; c(2,3)=2;c(2,4)=5; c(3,4)=1;c(3,6)=6; c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7; u(1,2)=8;u(1,4)=7; u(2,3)=9;u(2,4)=5; u(3,4)=2;u(3,6)=5; u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10; endcalc min=@sum(arcs:c*f); @for(nodes(i):@sum(nodes(j):f(i,j))-@sum(nodes(j):f(j,i))=d(i)); @for(arcs:@bnd(0,f,u)); end

求最小费用流的一种方法—迭代法

下面我们编写了最小费用最大流函数 mincostmaxflow，其中调用了利用 Floyd 算法

求最短路的函数 floydpath。

求解例 19 具体程序如下（下面的全部程序放在一个文件中）：

function mainexample19 clear;clc; global M num c=zeros(6);u=zeros(6); c(1,2)=2;c(1,4)=8;c(2,3)=2;c(2,4)=5; c(3,4)=1;c(3,6)=6;c(4,5)=3;c(5,3)=4;c(5,6)=7; u(1,2)=8;u(1,4)=7;u(2,3)=9;u(2,4)=5; u(3,4)=2;u(3,6)=5;u(4,5)=9;u(5,3)=6;u(5,6)=10; num=size(u,1);M=sum(sum(u))*num^2; [f,val]=mincostmaxflow(u,c) %求最短路径函数 function path=floydpath(w); global M num w=w+((w==0)-eye(num))*M; p=zeros(num); for k=1:num for i=1:num for j=1:num if w(i,j)>w(i,k)+w(k,j) w(i,j)=w(i,k)+w(k,j); p(i,j)=k; end end end end if w(1,num) ==M path=[]; else path=zeros(num); s=1;t=num;m=p(s,t); while ~isempty(m) if m(1) s=[s,m(1)];t=[t,t(1)];t(1)=m(1); m(1)=[];m=[p(s(1),t(1)),m,p(s(end),t(end))]; else path(s(1),t(1))=1;s(1)=[];m(1)=[];t(1)=[]; end end end

%最小费用最大流函数 function[flow,val]=mincostmaxflow(rongliang,cost,flowvalue); %第一个参数：容量矩阵；第二个参数：费用矩阵； %前两个参数必须在不通路处置零 %第三个参数：指定容量值（可以不写，表示求最小费用最大流） %返回值 flow 为可行流矩阵,val 为最小费用值 global M flow=zeros(size(rongliang));allflow=sum(flow(1,:)); if nargin<3 flowvalue=M; end while allflow<flowvalue w=(flow<rongliang).*cost-((flow>0).*cost)'; path=floydpath(w);%调用 floydpath 函数 if isempty(path) val=sum(sum(flow.*cost)); return; end theta=min(min(path.*(rongliang-flow)+(path.*(rongliang-flow)==0).*M)); theta=min([min(path'.*flow+(path'.*flow==0).*M),theta]); flow=flow+(rongliang>0).*(path-path').*theta; allflow=sum(flow(1,:)); end val=sum(sum(flow.*cost));