卡特兰数

卡特兰数是组合数据中一个常在各种计数问题中出现的数列，由比例时的数学家欧仁.查理.卡特兰（1814-1894）命名。

C₀＝1而C₁＝1，C₂＝2，C₃＝5，C₄＝14，C₅＝42，C₆＝132，C₇＝429，C₈＝1430，C₉＝4862，C₁₀＝16796，C₁₁＝58786，C₁₂＝208012，C₁₃＝742900，C₁₄＝2674440，C₁₅＝9694845·········································

卡塔兰数的一般项公式为 

另一个表达形式

满足递推关系：

                      

它也满足

这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

卡塔兰数的渐近增长为

它的含义是左式除以右式的商趋向于1当n → ∞。（这可以用n!的斯特灵公式来证明。）

所有的奇卡塔兰数C_n都满足n = 2^k − 1。所有其他的卡塔兰数都是偶数。

组合数学中有非常多组合结构可以用卡特兰数：

1、在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一书的习题中包括了66个相异的可由卡塔兰数表达的组合结构。以下用C_n=3和C_n=4举若干例：

• Cn表示长度为2n的dyck word的个数，Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字符串，且所有部分字符串均满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words：

        XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

• 将上例的X换成左括号，Y换成右括号，C_n表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
• C_n表示有n+1个叶子的二叉树的个数。

        

• C_n表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）

证明：

令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有个，下面考虑不满足要求的数目.

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而。证毕。

1、一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

2、对于一个n*n的正方形网格，每次我们能向右或者向上移动一格，那么从左下角到右上角的所有在副对角线右下方的路径总数为。我们将一条水平边记为+1,垂直边记为-1,那么就组成了一个n个+1和n个-1的序列，我们所要保证的就是前k步中水平边的个数不小于垂直边的个数，换句话说前k个元素的和非负，就是我们关于Catalan数的定义。

3、凸n+2边形进行三角形分割（只连接顶点对形成n个三角形）数：

4、12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?

我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排.如何选？

用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案.如何排？卡特兰数。

5、C_n表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。