堆排序中建堆过程的时间复杂度O(n)的证明

下面是建立大根堆的代码

template <typename Type>
void CreateBigRootHeap(Type *array, int len)
{
    int i, j, k;
    Type temp;

    for (i = (len - 1) / 2; i >= 0; --i)
    {
        temp = array[i];
        k = i;

        for (j = i * 2 + 1; j < len; j = j * 2 + 1)
        {
            if (j < len - 1 && array[j] < array[j + 1])
                j += 1;

            if (temp > array[j])
                break;

            array[k] = array[j];

            k = j;         
        }

        array[k] = temp;
    }
}

现在对建立堆时所使用的时间复杂度为O(n)进行证明：

令堆所对应的完全二叉树的高度为h，节点的个数为n，现假定完全二叉树为满二叉树：即n = 2^h - 1,如下图（借用网上的图）所示

有2^(h-2)个结点向下访问一次，2^(h-3)个结点向下访问2次，...1个结点向下访问h次：

推导公式如下：

在堆所对应的二叉树为非满二叉树时，复杂度是n同阶的。

Apr 16, 2013 @lab