【线性代数公开课MIT Linear Algebra】 第十七课 正交基和正交矩阵

本系列笔记为方便日后自己查阅而写，更多的是个人见解，也算一种学习的复习与总结，望善始善终吧~

1. 标准正交基与正交矩阵

标准正交向量组 orthonomal vectors

彼此正交orthogonal且模长norm为1(normalized)
当做column vecor写成矩阵形式：

对于这样的矩阵，我们理所当然的要去观察他的 QTQ

这个式子对任意的 Q 都成立，但我们更关注 Q 为方阵时的情况，因为其有逆且由 QTQ=I ⇒Q−1=QT ，我们叫这种column vector为标准正交向量组组成且为方阵的矩阵为正交矩阵orthogonal matrix。
注意：标准正交矩阵*orthogonormal matrix不一定是方阵，当它是方阵的时候，我们叫它正交矩阵* orthogonal matrix。

正交矩阵 orthogonal matrix

为什么我们如此关注标准正交矩阵orthogonormal matrix为方阵的情形？联系我们之前学习的投影矩阵projection matrix，我们试着写出要把投影到 Q 的column space的投影阵： P=Q(QTQ)−1QT=QQT ，当 Q 为方阵时 QQT=I 投影矩阵为单位矩阵，而 Q 非方阵时我们需要进行计算。
引入orthogonormal matrix的目的在于使得我们之前寻找 Ax=b 最优解的过程变得更为简单，还记的求最优解就是求 ATAx^=ATb 吗？当 A 为标准正交矩阵orthogonormal matrix Q ，式子重写为 QTQx^=QTb ⇒x^=QTb 进而可以发现 x^i=qTib 即 x^ 的第 i 个分量为 Q 的第 i 个基向量乘以 b

2. 格拉姆-施密特正交化 Graham-Schmidt

这是一种将矩阵转化为标准正交向量orthogonormal matrix的方法。按老师的说法Schmidt教我们如何将一个向量标准化normalized，而Graham教我们如何使得各个向量正交orthogonal。

施密特 Schmidt

格拉姆 Graham

下面就是转化的过程，从两个向量说起：

我们原始的两个向量 a,b 要转化为两个正交的向量 A,B ，我们可以选择 A=a 然后求解一个 B ，回忆之前的内容，其实我们就是在求解在投影时产生的偏差向量error vector B=e=b−p=b− ATbATA A ，如果我们加入 c 呢？其实我们做的就是重复刚才的操作使得 C 其与 A，B 正交，故 C=C− ATcATA A− BTcBTB B ，最后用施密特的方法normalized即可。
举个例子：

将 A 转化为 Q ，可以发现其column space是相同的，只是我们将其标准正交化之后得到的基basics更好一些，因为利用这些标准正交向量得到的标准正交矩阵有很好的性质，这可以方便我们计算。

3. QR分解

回忆我们之前的消元法，目的是使得 A=LU ，而格拉姆-施密特的目的在于 A=QR ，这里的 R 是一个上三角矩阵upper triangular matrix

理由是 R 会是由这些元素组成(不明所以，估计要去看书或者下一节课看看是否有讲解)，格拉姆-施密特的好处在于我们分解出来的 q2,q3,...qn 都是与 a 正交的，所以我们会得到上三角形式的 R

PS：另一位仁兄的笔记 http://blog.csdn.net/suqier1314520/article/details/13769403