【白话系列】二分图匹配

【序言】

        还记得自己当初学二分图匹配的时候……（哇，感觉时间过得好快好快啊）我翻看了很多的资料，不知道是不是因为我笨这个非常特殊的原因，我硬是看不下满版的公式定理概念证明代码符号等等无节操的东西，太深有感触了，就一个这么容易的东西讲那么复杂干嘛，于是我还是自己写一个作纪念好了，这里没有“X部图”“Y部图”“增广路”！这里只有那只可爱无下限的小白兔！！

【警告】

        你是人！请不要把自己当做程序员一样的思考！你只是人！请像正常人一样的思考！

【一】

        从前，在大森林里面，有一群可爱的小白兔，为什么叫它们可爱的小白兔呢？因为它们非常的可爱。

        兔子们转眼都长大了，长大了就要结婚，作为兔子国的月老（不要推辞了就是你！），你的任务是钦点夫妻，当然你已经知道了它们的恋爱关系，如下图所示。为了兔子王国的未来，同样作为兔子的你，该怎么钦点才能让夫妻最多呢？（假设你是一只有良知的兔子）

        Ps.为了表示对于崇高的兔子的尊敬，我们用框框来代表兔子，并且用男女表示性别。

        哈哈哈哈，我已经听到了你的笑声，作为一只聪明的兔子，你一下就分出来了，哇塞！好厉害啊！（哼哼，等一下，难道有人不会么！！（愤怒））

【二】

        又过了好多好多年，兔子也开始像人类一样无节操了，它们！它们！它们！竟然妄想一夫多妻或者是一妻多夫！！天哪，我的三观！求求你快来拯救兔子世界。

我想你已经看到了，作为一个正常的人类，我只能为你这只兔子而感到悲哀！这也太不像话了！（难道女兔2号就是传说中的白富美？）

        其实这个问题交给任何一个正常的人，他都会这样做：

                    男兔1号，我命令你娶了女兔1号，OK，一边去。

                    男兔2号，我命令你娶了女兔6号，OK，一边去。

                    男兔3号，我命令你娶了女兔2号，OK，一边去。

                    男兔4号，我命令你娶了……不好，你的女朋友不要你了，好的，你可以走了。

                    男兔5号，我命令你娶了……怎么又被抢了，白富美热销啊，你走吧。

                    男兔6号，我命令你娶了……白富美没了，你娶4号吧，OK，一边去。

                    完了？没有完啊！日子不好过啊，男兔4号与5号斧头刀子砸你家门啊，谁要你没有满足他们的心愿！

                   于是你开始追根溯源，原来它们喜欢的是白富美2号！让我看看白富美被谁抢了呢？啊，原来是男兔3号，于是你开始调查男兔3号的恋爱背景，秘密就这么被你发现了，它竟然对白富美不忠心！它还喜欢没人要的女兔5号！天哪，这么不忠诚的人有什么资格娶白富美小姐呢！速度贬下去，钦点给没人要的女兔5号以示惩罚，那么现在争抢的就只有尊贵的白富美小姐了，而且追求者们还是那么的忠诚，心儿都在它的身上，绝无杂念，这可怎么是好呢，作为一名非常公平的月老兔子，你决定把白富美送给4号，谁要4号给你送礼了呢！于是乎，出现了5对夫妻，比刚才可多了1对，功劳啊功劳，还能再多吗？我想是不行了，那么就这么定了吧。

        这么个顺利成章满足正常人思维的分配方式，没错，它就是大名鼎鼎的匈牙利算法。

        不过跟正常人思维有丁点儿不一样的是，它真正实现的时候，是在发现男兔4号的女朋友被抢了后就立马开始调查3号的身份的，而不是像上面描述的那样等到所有的人都分配完，并且家门被砸了后再开始调查，除开这一点不一样，想法都是一模一样的了。

 1 function find(i:longint):boolean; // 上文所述的对一只兔子的恋爱背景进行检查过程
 2 var
 3     j,k:longint；
 4 begin
 5     if p[i] then exit(false);  // 如果这只兔子在这轮的钦点中已经被检查过背景了，就退出
 6     p[i]:=true;  // 提前将这只兔子标记为检查完毕
 7     k:=h[i];  // 邻接表操作，获取该兔子的恋爱信息
 8     while k<>0 do begin
 9         j:=g[k];  // 获取恋爱对象
10         if (y[j]=0)or(find(y[j])) then begin  // 如果心仪对象单身或者其丈夫不忠诚而被月老贬给了别人
11             x[i]:=j;y[j]:=i;exit(true);  // 调整夫妻关系，返回一个成功信息
12         end;
13         k:=next[k];  // 若该轮不成功，物色下一个恋爱对象
14     end;
15     exit(false);  // 反正就是不成功，没办法了
16 end;

  注意事项：

        1、x[]记录的是男兔的妻子，y[]记录的是女兔的丈夫

        2、出于对女性兔子的尊重，月老只会检查男性兔子的恋爱背景

        3、返回的不成功信息有多重含义

     我知道你觉得莫名其妙，不要急，往下看……

step1、标记男兔1号检查完毕，找到女兔1号配对

step2、清空所有检查完毕标记

step3、标记男兔2号检查完毕，找到女图6号配对

step4、清空检查完毕标记

step5、标记3号男兔检查完毕，找到2号女兔配对

step6、清空检查完毕标记

step7、检查男兔4号检查完毕，欲配对女兔2号

step8、标记男兔3号已检查，开始检查3号是否忠诚

step9、发现3号不忠诚，将其贬给女兔5号，之后将女兔2号赐给男兔4号，并清除标记

step10、标记男兔5号为检查完毕，欲使女兔2号与其配对

step11、发现女兔2号已经被分配，检查其丈夫4号是否可以迁就

step12、男兔4号忠心耿耿无法迁就，男兔5号配对失败，清除标记

step13、标记男兔6号为检查完毕，欲使女兔2号与其配对

step14、发现女兔2号已经被分配，检查其丈夫是否可以迁就

step15、男兔4号忠心耿耿无法迁就，配对失败，男兔6号试探下一个对象女兔4号成功

step16、清除检查完毕标记

        至此，通过伟大的匈牙利算法，最大的匹配方案就出来了，这与我们人的思维是大题一致的。

        匈牙利算法有一个重要的细节，那就是不停标记，再在一次匹配成功后清除所有标记，在刚才的算法模拟中，似乎我们并没有看到标记起了任何作用，那标记的作用在哪里？？

        不急，且看下面这种情况：

        目前正在为2进行配对检查，欲赐给它的是女兔1号，然而女兔1号已有丈夫男兔1号，按照算法流程，接下来将检查男兔1号的忠诚与否，这个检查过程是怎样的呢？其实就是把男兔1号当成是正在进行配对检查的男兔2号一样，看看若女兔1号不存在，男兔1号还能找到别的归宿吗？然而不可避免的是，男兔1号在检查的时候又会找到女兔1号，按照算法流程，它又会继续检验男兔1号是否能找到新的归宿，这就避免不了出现死循环！按照我们刚才的要求，是不允许男兔1号继续访问女兔1号了，因为此时我们不承认女兔1号的存在，那么我们在访问到男兔1号时，就将其标记为已检查，再次通过女兔1号而访问到男兔1号时，根据代码第一句话可知，算法将发现男兔1号已访问，于是自动退出女兔1号的访问过程，从而屏蔽了继续对女兔1号的访问。

        标记法的核心在于：我们访问女兔，并不是为了访问女兔，只是希望通过访问女兔来间接访问到它的丈夫，如果它的丈夫已经标记为不可继续访问，那么相当于这只女兔被标记为不可继续访问，从而优美地实现了屏蔽。

         啊，兔子活得真累，我觉得我也是，匈牙利算法就这么多了，其实多想想挺好理解的。

        对于二分图匹配，还有一个更加高效的算法，那就是HK算法，当然它的思想还是跟匈牙利一样，只不过进行了标号优化，这里就不赘述了。

                                                                                                                                                                                    完