仿射变换
保距变换和仿射变换
§1 平面的仿射变换与保距变换
1.1 ――对应与可逆变换
集合X到集合Y的一个映射f:X→Y是把X中的点对应到Y中的点的一个法则，即x∈X，都决定Y中的一个元素f(x)，称为点x在f下的像。对X的一个子集A,记
f(A)={f(a)|a∈A} ，
它是Y的一个子集，称为A在f下的像。对Y的一个子集B，记
f-1(B)={x∈X|f(x)∈B},
称为B在F下的完全原像，它是X的子集。
如果f是X到Y的映射，g上Y到Z的映射，则它们的复合上X到Z的映射，记作
gf: X→Z，规定为
gf(x)=g(f(x)), x∈X.
对A⊂X，
gf(A)=g(f(A));
对C⊂Z,
(gf)-1(C)=f-1(g-1(C)).
映射的复合无交换律，但有结合律。
映射f: X→X称为X上的一个变换，idX: X→X，x∈X，idX（x）=x，称为X的恒同变换。
对映射f: X→Y，如果有映射g: Y→X,使得
gf= idX：X→X，fg=idY：Y→Y，
则说f是可逆映射，称g是f的逆映射。
如果在映射f: X→Y下X的不同点的像一定不同，则称f是单射。如果f(X)=Y，则称f是满射。
如果映射f: X→Y既是单射，又是是满射，则称f为——对应。此时f-1f=idX,, f f-1= idY,于是f是可逆映射，并且f的逆映射是f-1。
一个集合X到自身的可逆映射称为X上的可逆变换。
1．2 平面上的变换群
平移 取定平行于平面的一个向量u,规定的变换Pu: →为：A∈，令Pu（A）是使得=u的点。称Pu为上的一个平移，称向量u是Pu的平移量。
旋转 取定上一点O，取定角。规定的变换r：→为：A∈，令r（A）是A饶O转角所得的点。称变换r是上的一个旋转，称O是其旋转中心，为转角，r是可逆变换，r-1也是以O为中心的旋转，转角为-。
=180°时，称r为关于中心O点的中心对称，此时r-1=r。
反射 取定上的一条直线a，做的变换fa：→为：A∈, fa（A）是A关于a的对称点.称fa为上的一个反射，称a是它的反射轴.也fa是可逆变换，fa -1=fa .
正压缩 取定上一条直线和一个正数k，做的变换：g:→为：A∈,令g(A）是下列条件决定的点：
（1）与a垂直；
（2）g(A）到a的距离d(g(A）,a)=kd(A,a)；
（3）g(A）与A在的同一侧，
称变换g为上的一个正压缩，称a为压缩轴。称k为压缩系数，g也是可逆变换。并且g-1也是以a为压缩轴的压缩变换，压缩系数为k-1 .
定义4.1 一个集合G，如果它的元素都是上的可逆变换，并且满足条件：
（1）G中任何元素的逆也在G中；
（2）G中任何两个元素的复合也在G中，
则称G是上的一个变换群。
1.3 保距变换
定义4.2 平面上的一个变换f如果满足：对上的任意两点A,B，总有
d(f(A),f(B))=d(A,B),
则称f是上的一个保距变换。
命题4.1 保距变换是可逆变换.
证明 略
保距变换f的逆f-1也是保距变换,于是平面上的全体保距变换构成一个交换群，称为保距变换群。
1.4 仿射变换
定义4.3 平面（空间）的一个可逆变换，如果把共线点组变为共线点组，则称为平面（空间）的一个仿射变换。我们把平面间保持点组共线性的可逆映射称仿射映射。
位似变换 取定平面上一点O和一个不为0的实数k，规定上的变换f：→为：P∈令f(P)是由等式=k决定的点。称f是一个位似变换，称O为它的位似中心，k为位似系数。
相似变换 平面的一个变换f：→称为相似变换，如果存在正数k，使得对上任意两点A,B都有
d(f(A),f(B))=kd(A,B),
称k为f的相似比。
错切变换 取定平面上的一条直线a，并取定a的一个单位法向量n以及与a平行的一个向量u，规定变换f：→为: P∈令f(P)是满足等式
=(．n)u
的点，其中M0是a上一点，称此变换为以a为错切轴的一个错切变换。
命题4.2 在仿射变换下，不共线三点的像也不共线。
推论 仿射变换把直线变为直线，并保持直线的平行性.
§2 仿射变换基本定理
2.1 仿射变换决定的向量变换
定义4.3 设f是平面上的仿射变换，则对于任何平行于的向量a，规定f(a)=，这里A，B是上的点，使得
=a
这样，就得到全体平行于的向量集合上的一个变换，称它为f决定的向量变换，仍记作f.
从定义容易看出：
a=0 〈═〉f(a)=0.
定理4.1 仿射变换决定的向量变换具有线性性质，即
(1) 向量a,b,
f (a+b)= f(a)+f(b),f(a-b)=f(a)-f(b).
(2) 向量a, ∈R,
f(a)= f(a).
引理 （1）如果对a≠0和实数，f (a)= t f(a)则对任何非零向量b，都有f(b)= t f(b)
（2）对任何a≠0，如果＞0,则t ＞0.
推论 仿射变换保持共线三点的简单比.
2.2仿射变换基本定理
定理4.2（仿射变换基本定理） 设是一张平面.
（1） 如果f：→是仿射变换，I＝ [O; e1 ,e2 ]是上的一个仿射坐标系，则= . [f(O); f(e1) ,f(e2) ]也是的仿射坐标系，并且P∈,P在I中的坐标和f（P）在I’中的坐标相同；
（2） 任取上两个仿射坐标系I＝ [O; e1 ,e2 ]和=[ O’ ; e1’ ; e2’ ]规定f：→如下，P∈,设P在I中的坐标是（x,y）,令f（P）是在I’中的坐标为（x,y）的点，则f是仿射变换.
2.3 关于保距变换
命题4.3 如果平面上两个三角形和全等，则把变为 （每个顶点变为对应顶点）的仿射变换是保距变换.
推论 任何保距变换都可分解为平移旋转及反射的复合.
2.4二次曲线在仿射变换下的像
命题 4.4 平面上两条二次曲线Ⅰ与(不是空集）是同类二次曲线的充分必要条件是，存在仿射变换f，使得
f（Ⅰ）＝Ⅰ′.
2.5仿射变换的变积系数
命题 4.5 在同一仿射变换f：→下，上不同的图形（可计面积的）面积的变化率相同，即存在由变换f决定的常数k，使得任一图形S的像f(S)的面积是S面积的k倍.
这个常数k称为f的变积系数.
引理1 如果仿射变换h：→把某一个圆周S变为等半径的圆周，则f是保距变换.
引理2 每个仿射变换都可分解为一个保距变换和两个正压缩的乘积.
§3 用坐标法研究仿射变换
3.1 仿射变换的变换公式
设f：→是一个仿射变换.
取定上的一个仿射坐标系I＝[O; e1 ,e2 ] ,记=[f(O); f(e1) ,f(e2)设P在I中的坐标为（x,y）则由基本定理知道，f(P)在I’中的坐标也是(x,y).于是可通过坐标变换公式来求f(P)在I中的坐标.记I到I’的过渡矩阵为
A＝,
f(O)在I中的坐标为（b1 ,b2），则由第三章中点的坐标变换公式（3.2b），f(P)在I中的坐标（）为
, (4.3)
称此公式为仿射变换f在坐标系I中的点（坐标的）变换公式，称矩阵A为f在坐标系I中的变换矩阵.
类似可得仿射变换在坐标系I中的向量（坐标的）变换公式：
,(4.4)
也可用矩阵乘积形式给出
=
其中（x,y）是一个向量在I中的坐标，（）是f（）的坐标.
设一条曲线在I中的方程为F（）＝0，求其像f（）的方程方法为：从公式（4.3）反解出x, y用表示的函数式，代入F（x,y）＝0，就得到f（）的方程.
例4.1 已知在仿射坐标系I中，仿射变换f的点变换公式为
直线a的方程为3x+y-1=0，求f（a）的方程.
解 方法1.从变换公式反解出
代入a的方程：
3(-2+3-16)+(-3+4-23)-1=0
整理后得9-13+72＝0，于是f（a）的方程为
9x-13y+72＝0.
方法2（待定系数法）.设f(a)的方程为Ax+By+C=0,用变换公式（4.5）代人得到A的方程
A(4x-3y-5)+B(3x-2y+2)+C=0.
它与3x+y-1＝0都是a的方程，于是
=
从上式左边等式解出13A+9B＝0.即A: B=9: 13，再由右边的等式求出A: C＝1: 8.取A=9
则B =-13,C=72，得f（A）的方程：
9x-13y+72=0
3.2 变换矩阵的性质
引理 设和是平面上的两个仿射坐标系，他们分别北仿射变换f变为和，则到阵.
推论 仿射变换f把坐标系I变为，则f在中的变换矩阵就是f在I中的变换矩阵.
命题4.6 如果仿射变换f, g在仿射坐标系I中的变换矩阵分别为A和B，则它们的乘积gf在I中的变换矩阵为BA.
推论 如果仿射变换f在仿射坐标系I中的变换矩阵为A，则它的逆变换在I 中的变换矩阵为.
命题4.7 设仿射变换f在仿射坐标系I中的变换矩阵为A，I到仿射坐标的过渡矩阵为H，则f在中的变换矩阵为AH.
推论 一个仿射变换f在不同坐标系中的变换矩阵的行列式相等.
命题 4.8 仿射变换的变积系数等于它的变换矩阵的行列式所绝对值.
3.3 仿射变换的不动点和特征向量
设f：→是仿射变换.P∈，如果P在f下不动，即f(P)=P，就称P为f的一个不动点.如果非零向量u与f(u)平行，则称u为f的一个特征向量；此时有唯一实数，使得f(u)＝u，称为u的特征值.不动点和特征向量都是应用中常见的概念.
3.4 保距变换的变换公式
命题4.9 平面上第一类保距变换或是旋转，或是平移.
命题4.10 第二类保距变换或是反射，或是滑反射
§4图形的仿射分类与仿射性质
4.1 平面上的几何图形的仿射分类和度量分类
定义4.4 设和是平面上的两个几何图形，如果存在一个仿射变换f：→，使得
f()=,
则称和是仿射等价的；如果存在一个保距变换f：→，使得
f()=,
则称和是度量等价的.
仿射等价和度量等价都是平面上的几何图形的集合中的一个“等价关系”，即它满足下列三个性质
(1) 自反性. 即任何图形和自己仿射等价.
(2) 对称性. 即如果图形和仿射等价，则和也仿射等价.
(3) 传递性 .即如果和仿射等价, 和仿射等价，则和也仿射等价.
4.2 仿射概念与仿射性质
几何学中有些概念是在仿射变换下不会改变的，我们把这种概念称为仿射概念.类似地，把在保距变换下不会改变的概念称为度量概念.
几何图形的某种性质如果是用仿射概念刻画的，从而在仿射变换中保持不变。就称为仿射性质.某种性质如果是用度量概念刻画的，从而在保距变换中保持不变，就称为度量性质.
例4.4 试证明：椭圆上存在内接三角形，使得椭圆在其每个顶点处的切线都平行它的对边；并且，当取定椭圆上的一点时，以它为顶点的这样的三角形只有一个。
证明 由于所说的性质试仿射性质，我们只须对圆进行证明。在圆上，这样的三角形就是正三角形，其存在性和唯一性都是显然的。