Ngram 算法原理

统计语言模型

假设一个句子S可以表示为一个序列S=w1w2…wn，语言模型就是要求句子S的概率P(S)：

这个概率的计算量太大，解决问题的方法是将所有历史w1w2…wi-1按照某个规则映射到等价类S(w1w2…wi-1)，等价类的数目远远小于不同历史的数目，即假定：
 
N-Gram模型

当两个历史的最近的N-1个词（或字）相同时，映射两个历史到同一个等价类，在此情况下的模型称之为N-Gram模型。

N-Gram模型被称为一阶马尔科夫链。 N的值不能太大，否则计算仍然太大。

根据最大似然估计，语言模型的参数：

其中，C(w1w2…wi)表示w1w2…wi在训练数据中出现的次数

平滑技术的引入

传统的估计方法对于随机变量£的N次独立观察的样本容量N有如下要求：

N>>K

其中K为随机变量能够取到的值的个数。

实际语言模型中往往无法满足这个要求。

例如：词性标注问题，共有140个可能的标记，考虑当前词前后两个词的影响的三阶模型。

K=140*140*140=2,744,000

给定一个10万词左右的人工标注训练集，即

N=100,00，可见训练数据显得非常不足。

假设k泛指某一事件，N(k)表示事件k观察到的频数，极大似然法使用相对频数作为对事件k的概率估计：

p(k)=N(k)/N

在语言模型中，训练语料中大量的事件N(k)=0，这显然没有反映真实情况。我们把这个问题称为 数据稀疏问题。

这种零值的概率估计会导致语言模型算法的失败，例如：概率值作为乘数会使结果为0，而且不能做log运算。

计数等价类

根据对称性原理，事件除了出现次数之外不应具有细节特征，即所有具有相同计数r=N(k)的事件k（事件出现的次数称为事件的计数）应当具有相同的概率估计值，这些计数相同的事件称为 计数等价，将它们组成的一个等价类记为 计数等价类Gr。

对于计数为r的计数等价类，定义nr为等价类中成员的个数，pr为等价类中事件的概率，R是最大可能出现的计数次数，则

交叉检验

交叉检验就是把训练样本分为m份，其中一份作为保留部分，其余m-1份作为训练部分。训练部分作为训练集估计概率pr，保留部分作为测试集进行测试。

我们使用Cr表示保留部分中计数为r的计数等价类的观察个数。对于保留部分使用最大似然法对进行概率pr进行估计，即使对数似然函数最大化：

使用拉格朗日乘子解决约束条件下的最大值问题，即：

对pr求偏导，得到交叉检验估计：

如果测试部分也作为保留部分的话，就是典型的极大似然估计：

留一估计

留一方法是交叉检验方法的扩展，基本思想是将给定N个样本分为N-1个样本作为训练部分，另外一个样本作为保留部分。这个过程持续N次，使每个样本都被用作过保留样本。

优点：充分利用了给定样本，对于N中的每个观察，留一法都模拟了一遍没有被观察到的情形。

对于留一方法，pr的极大似然估计为：

Turing-Good公式

因为nRpR与1相比一般可以忽略，留一估计公式可以近似为：

留一估计可以利用计数r=1的事件来模拟未现事件，对于未现事件有如下估计：

这个公式就是著名的Turing-Good公式。

空等价类

留一估计中要求么个nr均不为0，在实际问题中当r=5时，这个要求通常都不能满足，即计数等价类G1,…,GR中存在空的等价类。这时按照出现次数进行排序：

对应的出现r(l)次的事件的个数记为nr(l)，在进行留一估计时，使用下一个非空的等价类Gr(l+1)代替可能为空的等价类Gr(l)+1，留一估计公式变为：
 
式中对空的等价类没有估计概率，因为空等价类并没有对应任何有效事件。

Turing-Good估计的优缺点和适用范围

缺点：( 1 )无法保证概率估计的“有序性”，即出现次数多的事件的概率大于出现次数少的事件的概率。(2)pr与r/N不能很好地近似，好的估计应当保证pr<=r/N。

优点：其它平滑技术的基础。

适用范围：对0<r<6的小计数事件进行估计。

约束留一估计

单调性约束：pr-1<=pr；折扣约束：p<=r/N。

约束留一估计：让计数估计r*=pr•N处于距其最近的绝对频数之间：

在这个约束下，单调性约束自然满足。

计算方法：计算m时检查每个pr是否满足约束，不然就用约束的上下界进行裁剪，然后重新计算m，一直迭代下去直到所有pr满足约束。

折扣模型

Katz指出Turing-Good公式实质是对模型中观察到的事件进行折扣，将折扣得来的概率摊到所n0个未现事件中。在这个思想的指导下，估计公式可以下成如下形式：

其中，dr是对计数为r的事件的计数的一个折扣函数。

绝对折扣模型

若折扣函数定义为：dr=b，其中b为一个大于0的常数。那么未现事件的总概率为：

对应绝对折扣模型的估计公式为：

线性折扣模型

若折扣函数定义为：dr=a·r，其中a为一个大于0的常数。那么未现事件的总概率为：

对应线性折扣模型的估计公式为：

若a=n1/N，则n0p0=n1/N，与Turing-Good估计相同。

删除插值法（Deleted Interpolation）

其基本思想是，由于N-Gram比N+1-Gram出现的可能性大的多，所以使用N-Gram估计N+1-Gram的概率，例如trigram的计算公式如下：

其中，

参数l的确定：将训练数据分为两部分，一部分用于估计f(wi| w1w2…wi-1)，一部分用于计算参数l，求使语言模型的困惑度最小的l。