最小费用最大流问题

最小费用最大流问题

一、定义与定理
      最小费用最大流：设G是以s为源t为汇的网络，c是G的容量，b是G的单位流量费用，且有b[i][j] = -b[i][j]，f是G的流，则b(f)=∑(fij*bij)，(i, j)∈E(G) 且fij>0。最小费用最大流问题，就是求网络G的最大流f且使费用b(f)最小。这样的流称为最小费用最大流。
二、算法思想
      用Ford-Fulkerson算法的思想，不断地在残留网络中寻找增广路，只不过这个增广路是当前网络中s到t的以单位流量费用为权的最短路，对这条增广路进行操作。由于费用有负值，建议用SPFA算法。
三、算法介绍
      描述：

1  MCMF(G, s, t)
2       for  each edge(u, v)  in  E(G)
3           do  f[u, v]  =   0
4             f[v, u]  =   0
5       while  exists a path p from s to t  in  Gf and p  is  the shortest path
6           do  cf(p)  =  min{cf(u, v) : (u, v)  in  p}
7              for  each edge(u, v)  in  p
8                  do  f[u, v]  =  f[u, v]  +  cf(p)
9                    f[v, u]  =   -  f[u, v]

      实现：

 1 mcmf()
 2 {
 3    while(true)
 4    {
 5        for(int i=1; i<=n+m+1; i++)
 6            d[i] = MAX;
 7        d[s] = 0;
 8        spfa(); //p中存有该点的前继点
 9        if(p[t] == -1) //表示已无增广路
10            break;
11        int minf = INT_MAX;
12        int it = t;
13        while(p[it] != -1)
14        {
15            minf = min(minf, c[p[it]][it] - f[p[it]][it]);
16            it = p[it];
17        }
18        it = t;
19        while(p[it] != -1)
20        {
21            f[p[it]][it] += minf;
22            f[it][p[it]] = -f[p[it]][it];
23            it = p[it];
24        }
25    }
26}

三、算法示例
      POJ 2516 解题报告