sicp习题 1.17 1.18解答

    这两道题目没什么难度了，幂运算是连续乘，乘法运算就是连续加，改造一下书中的例子和习题1.16就可以了，还是分析一下。

习题1.17:
已知两个过程,double过程可以求出一个整数的两倍，而halve过程将一个偶数除以2;要求写出一个过程，只用 对数个步骤计算两个整数的乘积。

解答:
计算a*b，考虑两种情况：
1)当b是偶数时：
a*b=2(a*(b/2))
2)当b是奇数时：
a*b=a*(b-1)+a

通过递归直接得到lisp过程，很好理解了，预先定义了两个已知过程double和halve：

(define (double x) ( *  x  2 ))
(define (halve x) ( /  x  2 ))
(define (multiplied a b)
  (cond ((or ( =  b  0 ) ( =  a  0 ))  0 )  
      ((even ?  b) (double (multiplied a (halve b)))) 
      ( else  ( +  a (multiplied a ( -  b  1 ))))))

习题1.18:将1.17的递归过程改写为迭代过程，保持对数个步骤

分析：递归转化为迭代，关键是要抓住状态迁移间的不变量，我们给它一个状态变量c，问题归结为如何保持c+a*b不变。
1)当b是偶数：
c+a*b=c+(2a)*(b/2))
在此过程中的状态变换：

   c  <---  c
   a  <---  2a
   b  <---  b / 2

2)当b是奇数:
c+a*b=(c+a)+a*(b-1)
回溯此状态转换：

  c  <---  (a + c)
  a  <---  a
  b  <---  (b - 1 )

由此可以得到该过程的迭代版本，两个已知过程与上同：

(define (fast - multiplied - iter a b c)
  (cond (( =  a  0 )  0 )
        (( =  b  0 ) c)
        ((even ?  b) (fast - multiplied - iter (double a) (halve b) c))
        ( else
           (fast - multiplied - iter a ( -  b  1 ) ( +  a c)))))
 (define (fast - multiplied a b) (fast - multiplied - iter a b  0 ))