美团笔试题之抛硬币问题

作者：云梦泽

日期：2013.11.19

地点：湖南大学软件大楼211

题目：

地面上有无数的随机硬币，现在有一个人负责每天对这些硬币进行操作，操作如下：如果硬币是反面的，就把它翻过来；如果是正面的就随机抛一下；如此以往，到n天以后正面和反面的比例是否能够达到一个稳定的比例，如果能，求比例是多少。

思路：

这种重复性操作的事件可抽象出一个数列递推模型，显然和前面文章中的猴子分桃问题一样，关键在建立一个递归的数学模型。

分析：

假设刚开始正反比例为a1，硬币总数为N，之后每操作一次正反比例为a2，a3，a4......an...

其中任取一次ai，可知其中正硬币数为：Front(ai)=ai*N/(ai+1)    反硬币数为：Back(ai)=N/(ai+1)

继续按要求进行下一次操作，反全变正，正概率性变反，可知：此时正面硬币数为：0.5*Front(ai)+Back(ai)  反面硬币数为：0.5*Front(ai)。

求解：

由以上分析可得a(i+1)=(0.5*ai+1)/0.5*ai

即 a(i+1)=(  a(i)+2  ) /  ai

高等数学定理：单调有界必有极限(严格说一条是某处后单调递减数列有上界必有极限

显然该数列某处后单调递减且有界，自己证明去。

然后求极限就是令：a(i+1)=a(i)

带入得 a=2为所求

即最后达到稳定值，硬币正反比例为 2