dp+离散（RMQ）
一、RMQ问题描述
RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在[i,j]里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题
ST算法（Sparse Table）:它是一种动态规划的方法。
以最小值为例。a为所寻找的数组.
用一个二维数组dp(i,j)记录区间[i,i+2^j-1](持续2^j个)区间中的最小值。其中dp[i,0] = a[i]; 所以，对于任意的一组(i,j)，dp(i,j) = min{dp(i,j-1),dp(i+2^(j-1),j-1)}来使用动态规划计算出来。
这个算法的高明之处不是在于这个动态规划的建立，而是它的查询：它的查询效率是O(log(j-i)). 假设我们要求区间[m,n]中a的最小值，找到一个数k使得2^k<n-m+1)并且2^(k+1)>=n-m+1.
这样，可以把这个区间分成两个部分：[m,m+2^k-1]和[n-2^k+1,n].这两个部分要一定保证完全覆盖这个区间，我们发现，这两个区间是已经初始化好的.
前面的区间是dp(m,k)，后面的区间是dp(n-2^k+1,k).
这样，只要看这两个区间的最小值，就可以知道整个区间的最小值！
二、RMQ的应用
1、poj1207
/*裸的RMQ
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
int dat[10002];
int dp[10002][18];
int get_dat(int n)
{
int cnt=1;
while(n!=1)
{
if(n&1){n=3*n+1;}
else{n/=2;}
++cnt;
}
return cnt;
}
void make_max_rmq()
{
for(int j=1;(1<<j)<=10000;++j)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=10000;++i)
{
dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}
int get_max_rmq(int a,int b)
{
int k=0;
while(a+(1<<k)<b-(1<<k)+1)++k;
return max(dp[a][k],dp[b-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
for(int i=1;i<=10000;++i)
{
dat[i]=get_dat(i);
dp[i][0]=dat[i];
}
int l,h,a,b;
make_max_rmq();
while(~scanf("%d%d",&a,&b))
{
l=a<b?a:b; h=a>b?a:b;
int ans=get_max_rmq(l,h);
printf("%d %d %d\n",a,b,ans);
}
return 0;
}
2、poj3264
/*n个数，求i，j的最大值和最小值之差
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
int m,n;
int dat[50002];
int dpmax[50002][18];
int dpmin[50002][18];
void make_max_rmq()
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
dpmax[i][0]=dat[i];
}
for(int j=1;(1<<j)<=n;++j)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)
{
dpmax[i][j]=max(dpmax[i][j-1],dpmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}
void make_min_rmq()
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
dpmin[i][0]=dat[i];
}
for(int j=1;(1<<j)<=n;++j)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)
{
dpmin[i][j]=min(dpmin[i][j-1],dpmin[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}
int get_max_rmq(int a,int b)
{
int k=0;
while(a+(1<<k)<b-(1<<k)+1)++k;
return max(dpmax[a][k],dpmax[b-(1<<k)+1][k]);
}
int get_min_rmq(int a,int b)
{
int k=0;
while(a+(1<<k)<b-(1<<k)+1)++k;
return min(dpmin[a][k],dpmin[b-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
int a,b;
while(~scanf("%d%d",&n,&m))
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%d",&dat[i]);
}
make_max_rmq();
make_min_rmq();
while(m--)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
int ans=get_max_rmq(a,b)-get_min_rmq(a,b);
printf("%d\n",ans);
}
}
return 0;
}
3、poj3368
/*
* 有n个数升序排列，输出i,j的最大的众数
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define N 100002
int n,m;
int rank[N];
int dat[N];
int dp[N][18];
int rear[N];
int head[N];
void make_max_rmq()
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
dp[i][0]=rank[i];
}
for(int j=1;j<=(int)(log((double)n)/log(2.0));++j)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)
{
dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}
int get_max_rmq(int a,int b)
{
int k=0;
while(a+(1<<k)<b-(1<<k)+1)++k;
return max(dp[a][k],dp[b-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
int a,b;
while(~scanf("%d",&n))
{
if(!n)break;
scanf("%d",&m);
int cnt=0;
memset(head,0,sizeof(head));
memset(rear,0,sizeof(rear));
head[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%d",&dat[i]);
if(dat[i]==dat[i-1]||i==1)
{
rank[i]=++cnt;
head[i]=head[i-1];
}
else{
head[i]=i;
rear[head[i-1]]=i-1;
rank[i]=1;
cnt=1;
}
}
make_max_rmq();
while(m--)
{
scanf("%d%d",&a,&b);
int ans;
if(dat[a]==dat[b]){ans=b-a+1;}
else if(rear[head[a]]+1==head[b])
{
ans=max(rear[head[a]]-a+1,b-head[b]+1);
}
else
{
ans=max(rear[head[a]]-a+1,b-head[b]+1);
ans=max(ans,get_max_rmq(rear[head[a]]+1,head[b]-1));
}
printf("%d\n",ans);
}
}
return 0;
}
4、poj2109 二维RMQ
/* 求子矩阵的最大值与最小值
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define inf 0x7ffffff
int dpmax[252][252][8];
int dpmin[252][252][8];
int dat[252][252];
int n,b,k;
void make_rmq2()
{
for(int k=1;(1<<k)<=n;++k)
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
for(int j=1;j<=n;++j)
{
dpmax[i][j][k]=dpmax[i][j][k-1];
if(i+(1<<(k-1))<=n)
dpmax[i][j][k]=max(dpmax[i][j][k],dpmax[i+(1<<(k-1))][j][k-1]);
if(j+(1<<(k-1))<=n)
dpmax[i][j][k]=max(dpmax[i][j][k],dpmax[i][j+(1<<(k-1))][k-1]);
if((i+(1<<(k-1))<=n)&&(j+(1<<(k-1))<=n))
dpmax[i][j][k]=max(dpmax[i][j][k],dpmax[i+(1<<(k-1))][j+(1<<(k-1))][k-1]);
dpmin[i][j][k]=dpmin[i][j][k-1];
if(i+(1<<(k-1))<=n)
dpmin[i][j][k]=min(dpmin[i][j][k],dpmin[i+(1<<(k-1))][j][k-1]);
if(j+(1<<(k-1))<=n)
dpmin[i][j][k]=min(dpmin[i][j][k],dpmin[i][j+(1<<(k-1))][k-1]);
if((i+(1<<(k-1))<=n)&&(j+(1<<(k-1))<=n))
dpmin[i][j][k]=min(dpmin[i][j][k],dpmin[i+(1<<(k-1))][j+(1<<(k-1))][k-1]);
}
}
}
}
int get_max_rmq2(int x,int y,int k)
{
int r=dpmax[x][y][k];
if(x+b-(1<<k)<=n)
r=max(r,dpmax[x+b-(1<<k)][y][k]);
if(y+b-(1<<k)<=n)
r=max(r,dpmax[x][y+b-(1<<k)][k]);
if((x+b-(1<<k)<=n)&&(y+b-(1<<k)<=n))
r=max(r,dpmax[x+b-(1<<k)][y+b-(1<<k)][k]);
return r;
}
int get_min_rmq2(int x,int y,int k)
{
int r=dpmin[x][y][k];
if(x+b-(1<<k)<=n)
r=min(r,dpmin[x+b-(1<<k)][y][k]);
if(y+b-(1<<k)<=n)
r=min(r,dpmin[x][y+b-(1<<k)][k]);
if((x+b-(1<<k)<=n)&&(y+b-(1<<k)<=n))
r=min(r,dpmin[x+b-(1<<k)][y+b-(1<<k)][k]);
return r;
}
int main()
{
int x,y;
while(~scanf("%d%d%d",&n,&b,&k))
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
for(int j=1;j<=n;++j)
{
scanf("%d",&dat[i][j]);
dpmax[i][j][0]=dpmin[i][j][0]=dat[i][j];
}
}
int p=0;
while((1<<(p+1))<=b){++p;}
make_rmq2();
while(k--)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
int ans=get_max_rmq2(x,y,p)-get_min_rmq2(x,y,p);
printf("%d\n",ans);
}
}
return 0;
}
5、Poj2452 RMQ+两次二分
/*
题意：有一串N个不同数字的序列，求出一个最长的连续子序列si~sj，满足si是最小数，sj是最大数。
思路：首先预处理，对于每个si,找出以它为起点后面最大数的位置rear[i].然后二分找到以si为最小值的区间，然后在这个区间里面二分寻找最大值的位置j，j-i的最大值即为所求
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
#define max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))。
const int N=5e4+2;
int n;
int dat[N];
int dpmax[N][30];
int dpmin[N][30];
int rear[N];
void make_rmq()
{
for(int j=1;(1<<j)<=n;++j)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;++i)
{
dpmax[i][j]=max(dpmax[i][j-1],dpmax[i+(1<<(j-1))][j-1]);
dpmin[i][j]=min(dpmin[i][j-1],dpmin[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}
int get_max_rmq(int a,int b)
{
int k=0;
while(a+(1<<k)<b-(1<<k)+1)++k;
return max(dpmax[a][k],dpmax[b-(1<<k)+1][k]);
}
int get_min_rmq(int a,int b)
{
int k=0;
while(a+(1<<k)<b-(1<<k)+1)++k;
return min(dpmin[a][k],dpmin[b-(1<<k)+1][k]);
}
int main()
{
while(~scanf("%d",&n))
{
for(int i=1;i<=n;++i)
{
scanf("%d",&dat[i]);
dpmin[i][0]=dpmax[i][0]=dat[i];
}
int t=n;
rear[n]=n;
for(int i=n-1;i>=1;--i)
{
if(dat[i]<dat[t])
{
rear[i]=t;
}
else
{
rear[i]=i;
t=i;
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)
{
}
int ans=-1;
make_rmq();
for(int i=1;i<=n;++i)
{
int low=i,high=rear[i],mid,t=-1;
if(get_min_rmq(i,high)==dat[i]){t=max(t,high);}
else{
while(low<high)
{
if(get_min_rmq(i,low)==dat[i])
{t=max(t,low);}
if(get_min_rmq(i,high)==dat[i])
{t=max(t,high);}
mid=(low+high)/2;
if(get_min_rmq(i,mid)==dat[i])
{
t=max(t,mid);
low=mid+1;
}
else{high=mid-1;}
}
}
high=t;low=i;
int w=get_max_rmq(low,high);
if(get_max_rmq(i,high)==dat[high])
{
ans=max(ans,high-i);
}
else
{
while(low<high)
{
if(dat[low]==w)
{ans=max(ans,low-i);}
if(dat[high]==w)
{ans=max(ans,high-i);}
mid=(low+high)/2;
if(get_max_rmq(i,mid)<w)
{low=mid+1;}
else{high=mid-1;
if(dat[mid]==w)ans=max(ans,mid-i);
}
}
}
}
if(ans==0)ans=-1;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}