题意:
给出m个氨基酸的质量,不考虑脱水缩合等生物因素;
问拼成质量为n的多肽有多少种方案;
n,m<=100000;
题解:
该来的毒瘤总是要来,所以生成函数啥的引入OI真是太不OI了(笑);
不过这题还不算虐心。。似乎。。
先上一个生成函数——F(x)表示氨基酸的生成函数,有一种质量为i的氨基酸,x^i前的系数就+1;
那么答案(显然)是F(x)+F^2(x)+F^3(x)+F^4(x)+...+F^∞(x)的n次项系数;
为了一会做着方便,我们再加一个单位多项式1;
系数表达中它除了0次项系数是1以外都是0,点值表达中它无论何时都是常数1;
理解这点之后,我们可以看出加的这个多项式是不影响什么的;
所以原式为1+F(x)+F^2(x)+F^3(x)+F^4(x)+...+F^∞(x),裸上等比数列求和!
(F^∞(x)-1)/(F(x)-1);
当F(x)自乘无穷次之后,它的最低项系数也是∞,对于答案也没影响;
所以就是-(F(x)-1)^(-1);
然后我们对F(x)-1求逆再取相反数,n次项系数就是答案啦!
然并卵,这题难点就是多项式求逆。。。
求逆的做法是倍增,这玩意Po姐的博客也没有讲。。。
具体可以去问候找picks大毒瘤的文章(链接);
倍增每层调用三次FFT,所以时间复杂度为T(n)=T(n/2)+O(nlogn)=O(nlogn);
这个复杂度简直毒瘤。。。至于原因再做几道生成函数的题就知道了= =;
代码:
#include<math.h> #include<stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> #define N 262144 using namespace std; typedef long long ll; const ll mod=1005060097; ll a[N],b[N]; ll pow(ll x,ll y) { ll ret=1; while(y) { if(y&1) ret=ret*x%mod; x=x*x%mod; y>>=1; } return ret; } void NTT(ll *a,int len,int type) { int i,j,t,h; for(i=0,t=0;i<len;i++) { if(i>t) swap(a[i],a[t]); for(j=(len>>1);(t^=j)<j;j>>=1); } for(h=2;h<=len;h<<=1) { ll wn=pow(5,(mod-1)/h); for(i=0;i<len;i+=h) { ll w=1; for(j=0;j<(h>>1);j++,w=w*wn%mod) { ll temp=w*a[i+j+(h>>1)]%mod; a[i+j+(h>>1)]=(a[i+j]-temp+mod)%mod; a[i+j]=(a[i+j]+temp)%mod; } } } if(type==-1) { for(i=1;i<(len>>1);i++) swap(a[i],a[len-i]); ll inv=pow(len,mod-2); for(i=0;i<len;i++) a[i]=a[i]*inv%mod; } } void inv(ll *a,int len) { if(len==1) { b[0]=pow(a[0],mod-2); return ; } inv(a,len>>1); static ll temp[N]; memcpy(temp,a,sizeof(ll)*(len>>1)); NTT(temp,len,1); NTT(b,len,1); for(int i=0;i<len;i++) b[i]=b[i]*(2-temp[i]*b[i]%mod+mod)%mod; NTT(b,len,-1); memset(b+(len>>1),0,sizeof(ll)*(len>>1)); } int main() { int n,m,i,j,k,len; scanf("%d%d",&n,&m); for(i=1;i<=m;i++) { scanf("%d",&k); if(k<=n) a[k]++; } a[0]=(a[0]-1+mod)%mod; for(i=(1<<30);i;i>>=1) if(n&i) {len=(i<<1);break;} len<<=1; inv(a,len); printf("%lld\n",(mod-b[n])%mod); return 0; }