UVa 10328 - Coin Toss （递推）

题意：给你一个硬币，抛掷n次，问出现连续至少k个正面向上的情况有多少种。

 

原题中问出现连续至少k个H的情况，很难下手。我们可以试着将问题转化一下。

设dp[i][j]表示抛掷i个硬币出现连续至多j个H的情况种数。

实际上原题中的出现连续至少k个H，即出现连续k个H，k+1个H，...n个H的并集，等价于dp[n][n]-dp[n][k-1],即从连续至多n个H的情况（其实这就是所有的抛掷情况种数）减去连续至多（k-1）个H的情况，这保证得到的所有情况一定至少有k个连续的H。

现在问题就变成了怎么求dp[i][j]。

考虑当i<=j的时候，dp[i][j]=dp[i-1][j]*2，即从上一阶段得到的抛掷序列后面增加正和反两种情况，如果出现连续的H个数大于j个，这种情况是非法的，但很显然此时不会出现这种情况。

当i>j时，如果继续用dp[i][j]=dp[i-1][j]*2就不行了。因为如果 从i-j到第i-1全部都是H ，那么这时候在第i个位置再加一个H，就会出现连续的H个数大于j个的非法状态，所以我们需要减掉 从i-j到第i-1全部都是H 的这种情况。那么这种情况有多少种呢。我们考虑该状态是如何转移而来的。试想第i-j-1个位置应该是什么呢。很明显应该是F。如果是H那就会出现非法状态了。那在第i-j-1之前的位置呢。无论H和F都可以，只要不出现连续的H个数大于j的非法状态即可，这就是dp[i-j-2][j]。

那么这样，dp[i][j]=dp[i-1][j]*2-dp[i-j-2][j]。

但这还是不够的。我们之前的推导都是基于第i-j-1个位置一定存在的前提下（i>j不能保证第i-j-1个位置一定存在），那如果第i-j-1个位置不存在，第i-j-2个位置也就不存在，上述方程也就不成立了。但这种情况很好想，此时一定是i==j+1，从第1个位置到第j个位置全部都是H，只有这一种情况，所以方程变成dp[i][j]=dp[i-1][j]*2-1。

综上：

dp[i][j]表示抛掷i个硬币出现连续至多j个H的情况种数

dp[0][j]=1

i<=j:dp[i][j]=dp[i-1][j]*2

i>j :i==j+1:dp[i][j]=dp[i-1][j]*2-1

      else: dp[i][j]=dp[i-1][j]*2-dp[i-j-2][j]

ans=dp[n][n]-dp[n][k-1]

需要用到大数。

Java实现代码：

 1 import java.util.*;
 2 import java.io.*;
 3 import java.math.BigInteger;
 4 public class Main
 5 {
 6     public static void main(String[] args)
 7     {
 8         BigInteger[][] dp = new BigInteger[105][105];
 9         for(int i=0; i<=100; ++i)
10         {
11             dp[0][i]=new BigInteger("1");
12             for(int j=1; j<=100; ++j)
13             {
14                 dp[j][i]=new BigInteger("0");
15                 if(j<=i) dp[j][i]=dp[j-1][i].add(dp[j-1][i]);
16                 else if(j==i+1) dp[j][i]=dp[j-1][i].add(dp[j-1][i].subtract(new BigInteger("1")));
17                 else dp[j][i]=dp[j-1][i].add(dp[j-1][i].subtract(dp[j-i-2][i]));
18             }
19         }
20         Scanner in = new Scanner(System.in);
21         while(in.hasNextInt())
22         {
23             int a=in.nextInt(),b=in.nextInt();
24             System.out.println(dp[a][a].subtract(dp[a][b-1]));
25         }
26     }
27 }

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