jdoj 1930 慈善的约瑟夫 递推 数学做法

慈善的约瑟夫

你一定听说过链表型约瑟夫问题，即从n人中找出唯一的幸存者。现在你将玩一个皆大欢喜的游戏。假设n个人站成一圈，从第1人开始交替的去掉游戏者，但只是暂时去掉（例如，首先去掉2），直到最后剩下唯一的幸存者为止。幸存者选出后，所有比幸存者号码高的人每人将得到1TK（一种货币），永久性的离开。其余剩下的人将重复以上的过程，比幸存者号码高的人每人将得到1TK后离开。一旦经过这样的过程后，人数不再减少，最后剩下的那些人将得到2TK。请你计算一下约瑟夫一共要付出多少钱。

我们在这里暂时不讲什么双向链表
只讲数学做法 (递推做法)

首先每个人都会得到1tk 只有最后幸存的人多得了1Tk
所以问题的子问题即为还剩下几个人
所以建立数组 final[M] 表示M次报数后还剩下final[M]个人
显然当 final[M]==M的时候 人数就不会再减少了
此时问题的解为final[M]+N
那么，如何求final[m]呢?
if
final[i]==i时，人数就不会再减少了，此时的i即为m；
else
我们就需要对剩下的final[i]个人再进行报数出列操作。

我们令joes[I]表示第i次报数的幸存者的编号
,也就代表了小于等于jose[I]的都可以多的1TK
设报到k的人需要出去
则jose[i-1]可以理解为第一轮第一次报数，k出去后的状态。
k出去后会从k+1继续报数，此时圈中有i-1个人，
从k+1开始报数，编号如下
jose[i]:k+1,k+2,……, i , 1,2,……,k-1
我们可以人为地把这个圈逆时针转k个单位，此时的编号如下
jose[i-1]:1, 2, ……, i-k , i-k+1,i-k+2,……,i-1
观察这两个序列
我们人为的整理得到了下面的公式
jose[i]:=(jose[i-1]+1) mod i + 1
这就是递推
边界也很明显，jose[1]=1
我们就可以推出每一个的jose[i] 和 final[i]
可以得到以下的公式
if(jose[i]==final[i])
final[i]=i;
else
final[i]=final[jose[i]];

下面是代码（巨短）

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 40000+5
int jose[N],final[N];
int n;
int main()
{   
    cin>>n;
    jose[1]=final[1]=1;
    for(int i=2;i<=32767;++i)
    {
        jose[i]=(jose[i-1]+1)%i+1;
        if(jose[i]==i)  
            final[i]=i;
        else
            final[i]=final[jose[i]];
    }
    cout<<final[n]+n;
}