实数

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实数
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[shí shù] 

实数包括 有理数和 无理数。其中无理数就是 无限不循环小数,有理数就包括 整数和 分数。数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数,后来引入了 虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”(任何实数都可在数轴上表示)。

目录

1基本概念

2历史发展

3相关定义

4相关性质

  基本运算
  四则运算封闭性
  有序性
  传递性
  阿基米德性质
  稠密性
  数轴
  完备性
  高级性质
  拓扑性质

5扩展与一般化

1基本概念编辑

实数可以分为 有理数和 无理数两类,或 代数数和 超越数两类,或 正实数, 负实数和 零三类。 实数集通常用字母  表示。而
表示  n 维实数空间。实数是不可数的。实数是 实数理论的核心研究对象。
实数可以用来测量连续的量。理论上,任何实数都可以用 无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的 数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点后  n 位, n为 正整数)。在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用 浮点数来表示。
1) 相反数(只有符号不同的两个数,它们的和为零,我们就说其中一个是另一个的相反数) 实数 a的相反数是- aa和- a在数轴上到原点0的距离相等。)
2) 绝对值(在 数轴上另一个数与 a到原点0的距离分别相等) 实数 a的绝对值是:| a|
a为 正数时,| a|= a(不变)
a为0时, |a|=0
a为 负数时,| a|=- a(即数 a的相反数)
(任何数的绝对值都大于或等于0,因为距离没有负的。)
3) 倒数(两个实数的乘积是1,则这两个数互为倒数) 实数 a的倒数是:1/ a ( a≠0)。0没有倒数。
4) 数轴(任何实数都可在数轴上表示。)
定义:如果画一条 直线,规定向右的方向为直线的正方向,在其上取原点 O及单位长度 OE,它就成为数轴线,或称数轴。
(1)数轴的三要素: 原点、 正方向和单位长度。
(2)数轴上的点与实数一一对应。 [1]
5) 平方根(在实数系中如果某个非负数 x自乘结果等于 a,即 x²= a,那么 x就是 a的算术平方根,算术平方根可用√ ̄表示。一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,就是0本身;负数在实数系中没有平方根。)
6) 立方根(如果一个数 x的立方等于 a,即 x³= a,即3个 x连续相乘等于 a,那么这个数 x就叫做 a的立方根(cube root),也叫做三次方根。实数系中,立方根的符号为∛ ̄。)

2历史发展编辑

埃及人早在大约公元前1000年就开始运用 分数了。在公元前500年左右,以 毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发现了负数,据说中国也曾发现负数,但稍晚于印度。

实数相关资料 (16张)
直到17世纪,实数才在欧洲被广泛接受。18世纪, 微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年,德国数学家 康托尔第一次提出了实数的严格定义。实数包括有理数和无理数。其中无理数就是 无限不循环小数,有理数就包括无限循环小数、有限小数、 整数。数学上,实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数,后来引入了 虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。
到了19世纪70年代,著名的德国数学家 外尔斯特拉斯(1815-1897)、 康托尔(1845-1918)和法国的 柯西(1789-1857)及 戴德金(1831-1916)等都对实数理论进行了研究,获得了几种形异而实同的实数理论,其中以戴德金分割法、康托尔的有理数「基本序列」法最有代表性。上述两法与 外尔斯特拉斯的实数理论合称实数理论的三大派。

3相关定义编辑

从有理数构造实数
实数可以用通过收敛于一个唯一实数的 十进制或 二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种,其他方法请详见实数的构造。
公理的方法
设  R 是所有实数的 集合,则:
集合  R 是一个 域: 可以作加、减、乘、除运算,且有如 交换律, 结合律等常见性质。
域  R 是个有序域,即存在 全序关系≥ ,对所有实数  xy 和  z
若  x ≥  y 则  x +  z ≥  z
若  ≥ 0 且  y ≥ 0 则  xy ≥ 0。
集合  满足 完备性,即任意  的有非空 子集 S,SRS≠∅,若  S 在  内有 上界,那么  S 在  R 内有 上确界。
最后一条是区分实数和有理数的关键。例如对于所有 平方小于 2 的有理数的集合,它在有理数集内有上界,例如1.5;但在有理数集内无上确界(因为√2不是有理数)。
实数通过上述性质唯一确定。更准确的说,给定任意两个有序域  R1 和  R2,存在从  R1 到  R2 的唯一的域同构,即结构上两者可看作是相同的。

4相关性质编辑

基本运算

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、 乘方等,对 非负数(即正数和0)还可以进行 开方运算。实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方,结果仍是实数,只有非负实数,才能开偶次方其结果还是实数。

四则运算封闭性

实数集R对加、减、乘、除(除数不为零)四则运算具有 封闭性,即任意两个实数的和、差、积、商(除数不为零)仍然是实数。

有序性

实数集是有序的,即任意两个实数 ab必定满足下列三个关系之一: a< ba= ba> b

传递性

实数大小具有传递性,即若 a> b,且 b> c,则有 a> c

阿基米德性质

实数具有阿基米德性质(Archimedean property),即∀ ab ∈ R,若 a>0,则∃正整数 nna> b

稠密性

实数集 R具有稠密性,即两个不相等的实数之间必有另一个实数,既有有理数,也有 无理数.

数轴

如果在一条直线(通常为水平直线)上确定 O作为原点,指定一个方向为正方向(通常把指向右的方向规定为正方向),并规定一个单位长度,则称此直线为 数轴 任一实数都对应与数轴上的唯一一个点;反之,数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是,实数集 R与数轴上的点有着一一对应的关系。

完备性

作为 度量空间或 一致空间,实数集合是个 完备空间,它有以下性质:
一. 所有实数的柯西序列都有一个实数极限。
有理数集合就不是完备空间。例如,(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的 柯西序列,但没有有理数 极限。实际上,它有个实数极限 √2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。
极限的存在是 微积分的基础。实数的完备性等价于 欧几里德几何的 直线没有“空隙”。
二. “完备的有序域”
实数集合通常被描述为“完备的有序域”,这可以几种解释。
首先,有序域可以是完备格。然而,很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大 元素(对任意元素 zz+1将更大)。所以,这里的“完备”不是完备格的意思。
另外,有序域满足戴德金完备性,这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用 戴德金分割来构造实数的方法,即从(有理数)有序域出发,通过标准的方法建立戴德金完备性。
这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而,有序群(域是种特殊的群)可以定义一致空间,而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。(这里采用一致空间中的完备性概念,而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性,这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。)当然, 并不是唯一的一致完备的有序域,但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上,“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以 证明,任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的(当然反之亦然)。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法,即从( 有理数)阿基米德域出发,通过标准的方法建立一致完备性。
“完备的阿基米德域”最早是由 希尔伯特提出来的,他还想表达一些不同于上述的意思。他认为,实数构成了最大的阿基米德域,即所有其他的阿基米德域都是  R 的子域。这样  是“完备的”是指,在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用 超实数来构造实数的方法,即从某个 包含所有(超实数)有序域的纯类出发,从其子域中找出最大的阿基米德域。

高级性质

实数集是不可数的,也就是说,实数的个数严格多于 自然数的个数(尽管两者都是 无穷大)。这一点,可以通过 康托尔 对角线方法证明。实际上,实数集的势为 2 ω(请参见 连续统的势),即 自然数集的 幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是 代数数,绝大多数实数是 超越数。实数集的子集中,不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合,这就是连续统假设。事实上这假设独立于ZFC集合论,在ZFC集合论内既不能证明它,也不能推出其否定。
所有非 负实数的 平方根属于  R,但这对负数不成立。这表明  R 上的序是由其 代数结构确定的。而且,所有奇数次 多项式至少有一个根属于  R。这两个性质使 R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对 代数基本定理的证明的前半部分。
实数集拥有一个规范的测度,即 勒贝格测度。
实数集的上确界公理用到了实数集的 子集,这是一种 二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集:1. Löwenheim–Skolem theorem定理说明,存在一个实数集的可数稠密子集,它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的 命题;2. 超实数的集合远远大于  R,但也同样满足和  一样的一阶逻辑命题。满足和  一样的一阶逻辑命题的有序域称为  R 的非标准 模型。这就是 非标准分析的研究内容,在非标准模型中证明一阶逻辑命题(可能比在  R 中证明要简单一些),从而确定这些命题在  R 中也成立。

拓扑性质

实数集构成一个度量空间: x 和  y 间的距离定为 绝对值 | y|。作为一个全序集,它也具有序 拓扑。这里,从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间(所以也是 连通空间)、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定,例如,无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览:
i.令  a 为一实数。 a 的邻域是实数集中一个包括一段含有  的 线段的子集。
ii. 是可分空间。
iii. 在  中处处稠密。
iv. R的 开集是开 区间的联集。
v. R的紧子集是有界闭集。特别是:所有含端点的有限线段都是紧子集。
vi.每个 R中的有界序列都有收敛子序列。
vii. R是连通且单连通的。
viii. R中的连通子集是线段、 射线与R本身。由此性质可迅速导出 中间值定理。

5扩展与一般化编辑

实数集 R可以在几种不同的方面进行扩展和一般化:
最自然的扩展可能就是 复数了。 复数集包含了所有多项式的根。但是,复数集不是一个有序域。
实数集扩展的有序域是超实数的集合,包含 无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。
有时候,形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集,构成 扩展的实数轴。它是一个紧致 空间,而不是一个域,但它保留了许多实数的性质。
正因如此, 毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念,这里的数是指自然数1 , 2 , 3 ...,而由自然数的比就得到所有正有理数,而有理数集存在“缝隙”这一事实,对当时很多数学家来说可谓极大的打击;见 第一次数学危机。
从 古希腊一直到十七世纪,数学家们才慢慢接受无理数的存在,并把它和有理数平等地看作数;后来有 虚数概念的引入,为加以区别而称作“实数”,意即“实在的数”。在当时,尽管 虚数已经出现并广为使用,实数的严格定义却仍然是个难题,以至 函数、 极限和 收敛性的概念都被定义清楚之后,才由十九世纪末的 戴德金、 康托等人对实数进行了严格处理。

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