实数

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实数

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[shí shù] 

实数包括 有理数和 无理数。其中无理数就是 无限不循环小数，有理数就包括 整数和 分数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了 虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”（任何实数都可在数轴上表示）。

目录

1基本概念

2历史发展

3相关定义

4相关性质

▪  基本运算

▪  四则运算封闭性

▪  有序性

▪  传递性

▪  阿基米德性质

▪  稠密性

▪  数轴

▪  完备性

▪  高级性质

▪  拓扑性质

5扩展与一般化

1基本概念编辑

实数可以分为 有理数和 无理数两类，或 代数数和 超越数两类，或 正实数， 负实数和 零三类。 实数集通常用字母  R 表示。而

表示  n 维实数空间。实数是不可数的。实数是 实数理论的核心研究对象。

实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用 无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的 数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后  n 位， n为 正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用 浮点数来表示。

1） 相反数（只有符号不同的两个数，它们的和为零，我们就说其中一个是另一个的相反数） 实数 a的相反数是- a， a和- a在数轴上到原点0的距离相等。）

2） 绝对值（在 数轴上另一个数与 a到原点0的距离分别相等） 实数 a的绝对值是：| a|

① a为 正数时，| a|= a（不变）

② a为0时， |a|=0

③ a为 负数时，| a|=- a（即数 a的相反数）

(任何数的绝对值都大于或等于0，因为距离没有负的。)

3） 倒数（两个实数的乘积是1，则这两个数互为倒数） 实数 a的倒数是：1/ a （ a≠0）。0没有倒数。

4） 数轴（任何实数都可在数轴上表示。）

定义：如果画一条 直线，规定向右的方向为直线的正方向，在其上取原点 O及单位长度 OE，它就成为数轴线，或称数轴。

（1）数轴的三要素： 原点、 正方向和单位长度。

（2）数轴上的点与实数一一对应。 [1]

5） 平方根（在实数系中如果某个非负数 x自乘结果等于 a，即 x²= a，那么 x就是 a的算术平方根，算术平方根可用√￣表示。一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，就是0本身；负数在实数系中没有平方根。）

6） 立方根（如果一个数 x的立方等于 a，即 x³= a，即3个 x连续相乘等于 a,那么这个数 x就叫做 a的立方根（cube root），也叫做三次方根。实数系中，立方根的符号为∛￣。）

2历史发展编辑

埃及人早在大约公元前1000年就开始运用 分数了。在公元前500年左右，以 毕达哥拉斯为首的希腊数学家们意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发现了负数，据说中国也曾发现负数，但稍晚于印度。

实数相关资料 (16张)

直到17世纪，实数才在欧洲被广泛接受。18世纪， 微积分学在实数的基础上发展起来。直到1871年，德国数学家 康托尔第一次提出了实数的严格定义。实数包括有理数和无理数。其中无理数就是 无限不循环小数，有理数就包括无限循环小数、有限小数、 整数。数学上，实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。本来实数仅称作数，后来引入了 虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

到了19世纪70年代，著名的德国数学家 外尔斯特拉斯（1815-1897）、 康托尔（1845-1918）和法国的 柯西（1789-1857）及 戴德金（1831-1916）等都对实数理论进行了研究，获得了几种形异而实同的实数理论，其中以戴德金分割法、康托尔的有理数「基本序列」法最有代表性。上述两法与 外尔斯特拉斯的实数理论合称实数理论的三大派。

3相关定义编辑

从有理数构造实数

实数可以用通过收敛于一个唯一实数的 十进制或 二进制展开如 {3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,…} 所定义的序列的方式而构造为有理数的补全。实数可以不同方式从有理数构造出来。这里给出其中一种，其他方法请详见实数的构造。

公理的方法

设  R 是所有实数的 集合，则：

集合  R 是一个 域： 可以作加、减、乘、除运算，且有如 交换律， 结合律等常见性质。

域  R 是个有序域，即存在 全序关系≥ ，对所有实数  x,  y 和  z：

若  x ≥  y 则  x +  z ≥  y +  z；

若  x ≥ 0 且  y ≥ 0 则  xy ≥ 0。

集合  R 满足 完备性，即任意  R 的有非空 子集 S，即 S∈ R， S≠∅，若  S 在  R 内有 上界，那么  S 在  R 内有 上确界。

最后一条是区分实数和有理数的关键。例如对于所有 平方小于 2 的有理数的集合，它在有理数集内有上界，例如1.5；但在有理数集内无上确界（因为√2不是有理数）。

实数通过上述性质唯一确定。更准确的说，给定任意两个有序域  R1 和  R2，存在从  R1 到  R2 的唯一的域同构，即结构上两者可看作是相同的。

4相关性质编辑

基本运算

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、 乘方等，对 非负数（即正数和0）还可以进行 开方运算。实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。

四则运算封闭性

实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有 封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

有序性

实数集是有序的，即任意两个实数 a、 b必定满足下列三个关系之一： a< b， a= b， a> b。

传递性

实数大小具有传递性，即若 a> b，且 b> c，则有 a> c。

阿基米德性质

实数具有阿基米德性质（Archimedean property），即∀ a， b ∈ R，若 a>0，则∃正整数 n， na> b。

稠密性

实数集 R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有 无理数.

数轴

如果在一条直线（通常为水平直线）上确定 O作为原点，指定一个方向为正方向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为 数轴 。任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。于是，实数集 R与数轴上的点有着一一对应的关系。

完备性

作为 度量空间或 一致空间，实数集合是个 完备空间，它有以下性质：

一. 所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

有理数集合就不是完备空间。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的 柯西序列，但没有有理数 极限。实际上，它有个实数极限 √2。实数是有理数的完备化——这亦是构造实数集合的一种方法。

极限的存在是 微积分的基础。实数的完备性等价于 欧几里德几何的 直线没有“空隙”。

二. “完备的有序域”

实数集合通常被描述为“完备的有序域”，这可以几种解释。

首先，有序域可以是完备格。然而，很容易发现没有有序域会是完备格。这是由于有序域没有最大 元素（对任意元素 z， z+1将更大）。所以，这里的“完备”不是完备格的意思。

另外，有序域满足戴德金完备性，这在上述公理中已经定义。上述的唯一性也说明了这里的“完备”是指戴德金完备性的意思。这个完备性的意思非常接近采用 戴德金分割来构造实数的方法，即从（有理数）有序域出发，通过标准的方法建立戴德金完备性。

这两个完备性的概念都忽略了域的结构。然而，有序群（域是种特殊的群）可以定义一致空间，而一致空间又有完备空间的概念。上述完备性中所述的只是一个特例。（这里采用一致空间中的完备性概念，而不是相关的人们熟知的度量空间的完备性，这是由于度量空间的定义依赖于实数的性质。）当然， R 并不是唯一的一致完备的有序域，但它是唯一的一致完备的阿基米德域。实际上，“完备的阿基米德域”比“完备的有序域”更常见。可以 证明，任意一致完备的阿基米德域必然是戴德金完备的（当然反之亦然）。这个完备性的意思非常接近采用柯西序列来构造实数的方法，即从（ 有理数）阿基米德域出发，通过标准的方法建立一致完备性。

“完备的阿基米德域”最早是由 希尔伯特提出来的，他还想表达一些不同于上述的意思。他认为，实数构成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是  R 的子域。这样  R 是“完备的”是指，在其中加入任何元素都将使它不再是阿基米德域。这个完备性的意思非常接近用 超实数来构造实数的方法，即从某个 包含所有（超实数）有序域的纯类出发，从其子域中找出最大的阿基米德域。

高级性质

实数集是不可数的，也就是说，实数的个数严格多于 自然数的个数（尽管两者都是 无穷大）。这一点，可以通过 康托尔 对角线方法证明。实际上，实数集的势为 2 ω（请参见 连续统的势），即 自然数集的 幂集的势。由于实数集中只有可数集个数的元素可能是 代数数，绝大多数实数是 超越数。实数集的子集中，不存在其势严格大于自然数集的势且严格小于实数集的势的集合，这就是连续统假设。事实上这假设独立于ZFC集合论，在ZFC集合论内既不能证明它，也不能推出其否定。

所有非 负实数的 平方根属于  R，但这对负数不成立。这表明  R 上的序是由其 代数结构确定的。而且，所有奇数次 多项式至少有一个根属于  R。这两个性质使 R成为实封闭域的最主要的实例。证明这一点就是对 代数基本定理的证明的前半部分。

实数集拥有一个规范的测度，即 勒贝格测度。

实数集的上确界公理用到了实数集的 子集，这是一种 二阶逻辑的陈述。不可能只采用一阶逻辑来刻画实数集：1. Löwenheim–Skolem theorem定理说明，存在一个实数集的可数稠密子集，它在一阶逻辑中正好满足和实数集自身完全相同的 命题；2. 超实数的集合远远大于  R，但也同样满足和  R 一样的一阶逻辑命题。满足和  R 一样的一阶逻辑命题的有序域称为  R 的非标准 模型。这就是 非标准分析的研究内容，在非标准模型中证明一阶逻辑命题（可能比在  R 中证明要简单一些），从而确定这些命题在  R 中也成立。

拓扑性质

实数集构成一个度量空间： x 和  y 间的距离定为 绝对值 | x -  y|。作为一个全序集，它也具有序 拓扑。这里，从度量和序关系得到的拓扑相同。实数集又是 1 维的可缩空间（所以也是 连通空间）、局部紧致空间、可分空间、贝利空间。但实数集不是紧致空间。这些可以通过特定的性质来确定，例如，无限连续可分的序拓扑必须和实数集同胚。以下是实数的拓扑性质总览：

i.令  a 为一实数。 a 的邻域是实数集中一个包括一段含有  a 的 线段的子集。

ii. R 是可分空间。

iii. Q 在  R 中处处稠密。

iv. R的 开集是开 区间的联集。

v. R的紧子集是有界闭集。特别是：所有含端点的有限线段都是紧子集。

vi.每个 R中的有界序列都有收敛子序列。

vii. R是连通且单连通的。

viii. R中的连通子集是线段、 射线与R本身。由此性质可迅速导出 中间值定理。

5扩展与一般化编辑

实数集 R可以在几种不同的方面进行扩展和一般化：

最自然的扩展可能就是 复数了。 复数集包含了所有多项式的根。但是，复数集不是一个有序域。

实数集扩展的有序域是超实数的集合，包含 无穷小和无穷大。它不是一个阿基米德域。

有时候，形式元素 +∞ 和 -∞ 加入实数集，构成 扩展的实数轴。它是一个紧致 空间，而不是一个域，但它保留了许多实数的性质。

正因如此， 毕达哥拉斯本人甚至有“万物皆数”的信念，这里的数是指自然数1 , 2 , 3 ...，而由自然数的比就得到所有正有理数，而有理数集存在“缝隙”这一事实，对当时很多数学家来说可谓极大的打击；见 第一次数学危机。

从 古希腊一直到十七世纪，数学家们才慢慢接受无理数的存在，并把它和有理数平等地看作数；后来有 虚数概念的引入，为加以区别而称作“实数”，意即“实在的数”。在当时，尽管 虚数已经出现并广为使用，实数的严格定义却仍然是个难题，以至 函数、 极限和 收敛性的概念都被定义清楚之后，才由十九世纪末的 戴德金、 康托等人对实数进行了严格处理。